Come capire i modi di vibrare con delle palle da baseball

Copertina_Baeball

Modi di vibrare: il tuo software di calcolo ha un tasto dedicato per visualizzarli, ne vedi stampate le caratteristiche nelle relazioni di calcolo, le NTC2008 li nominano più volte nel capitolo 7. Insomma ce li hai spesso sotto gli occhi. Sono necessari quando si esegue un calcolo in combinazione sismica. Ma sai davvero cosa sono? Hai idea di cosa si sta parlando?

Se non hai mai avuto il tempo di documentarti oppure se li hai studiati anni fa all’università, ma non ti sono mai stati chiari del tutto quest’articolo fa al caso tuo. Continua a leggere per saperne di più.

La regola è semplice: un qualunque sistema vibrante ha tanti modi di vibrare quanti sono i suoi gradi di libertà. Un grado di libertà è un parametro che definisce la configurazione deformata di un sistema; può essere uno spostamento o una rotazione di una sua parte, l’importante è che sia sufficiente a definire compiutamente come si deforma un sistema. Esempio semplice: un pendolo che può oscillare nel suo piano è un sistema vibrante che ha un solo grado di libertà, ovvero l’angolo che l’asta del pendolo forma con la verticale (ne parlo in quest’articolo sull’Analisi Modale).

Ciascun modo di vibrare ha una sua frequenza di vibrazione. Più si sale di frequenza, più volte la deformata passa per il punto di nullo. Quest’utimo concetto ti sarà molto più chiaro fra pochi minuti.

Voglio entrare subito nel vivo mostrandoti il video di un esperimento. Si tratta di un test eseguito all’Università della Pennsylvania. L’esperimento è stato condotto su un sistema che di volta in volta vede aumentare i suoi gradi di libertà. Si parte da un solo grado di libertà per arrivare fino a 4 gradi di libertà. Un apparecchio applica al sistema delle vibrazioni di frequenza crescente, mandandolo in risonanza alle sue frequenze naturali di vibrazione.

Quali sofisticate strumentazioni avranno usato gli Ammerigani per eseguire questo avanzato test sperimentale? Sono bastati semplicemente una corda elastica e delle palle da baseball.

Il video è in inglese. Ti invito a concentrare l’attenzione sui minuti indicati qui sotto:

  • Sistema ad un solo grado di libertà: 1° modo -> minuto 0:11
  • Sistema a due gradi di libertà: 1° modo -> minuto 0:33; 2° modo -> minuto 0:52
  • Sistema  a tre gradi di libertà: 1° modo -> minuto 1:15; 2° modo -> minuto 1:36; 3° modo -> minuto 1:54
  • Sistema a 4 gradi di libertà: 1° modo -> minuto 2:18; 2° modo -> minuto 2:46; 3° modo -> minuto 3:05; 4° modo -> minuto 3:25

Buona visione!

Come hai potuto vedere nel video per ogni configurazione del sistema, l’unico grado di libertà è lo spostamento verticale di ciascuna palla da baseball. Quindi i gradi di libertà in questo caso sono pari al  numero di palle da baseball presenti in ciascun caso. Per essere precisi non sono state usate delle vere e proprie palle da baseball: in America le chiamano Whiffle Baseballs e sono quelle palle di plastica cave all’interno che ricordano molto le palle da baseball.

Baseball

 

Nel video si introduce anche un altro concetto interessante: il concetto di nodo. Il nodo è il punto di nullo per cui passa la deformata del sistema. Se ci fai caso riguardando il video, in alcuni casi ci sono dei punti della deformata che non si spostano, restano esattamente nella loro posizione mentre il resto del sistema continua ad oscillare.

Esiste una semplice regola:

I punti di nullo della deformata, ovvero i nodi di un sistema, sono pari al numero del modo di vibrare meno 1. Il primo modo avrà zero nodi, il secondo modo avrà un nodo, il terzo modo avrà due nodi, il quarto modo ne avrà tre e così via.

Per comodità te li riporto qui sotto. I nodi sono evidenziati in rosso nelle immagini:

2gdf_Modif

Sistema a due gradi di libertà

 

3gdf_Modif

sistema a tre gradi di libertà

 

4gdf_Modif

Sistema a quattro gradi di libertà

 

Sono sicuro che troverai tutto ciò molto interessante, ma in fin dei conti a cosa ci serve? Questo esperimento è molto astratto, e mette molto bene in evidenza cosa sono i modi di vibrare di un sistema e quali sono le loro proprietà. Ma a noi interessa la realtà, ci interessa sapere come possono essere utili queste informazioni nella pratica. Cosa succede quando il nostro sistema vibrante non è fatto di palle da baseball ed elastici, ma è una struttura reale in cemento armato, acciaio o altro?

In questo caso valgono gli stessi concetti visti sopra. Una struttura è un sistema vibrante che ha un suo numero di gradi di libertà. Pertanto, come hai potuto vedere, avrà tanti modi di vibrare quanti sono i sue gradi di libertà.

Veniamo a quindi alla domanda fondamentale: quanti sono i gradi di libertà di una struttura nel mondo delle costruzioni?

Prima di darti una risposta voglio mostrarti un altro esperimento. E’ simile a quello visto sopra, ma questa volta il modellino è più attinente al nostro scopo. Si tratta di un telaio multipiano bidimensionale con traversi rigidi. Alla base del modellino una macchina applica un’oscillazione di frequenza man mano crescente. Cosa succede? Guarda il video.

  • minuto 0:20 si raggiunge la frequenza di 4.35 Hz, si attiva il primo modo di vibrare
  • minuto 1:20 si raggiunge la frequenza di 12.35 Hz, si attiva il secondo modo di vibrare

Come hai potuto vedere nel video, il modellino ha tre gradi di libertà, pari al numero di livelli. Ogni livello ha una sua massa concentrata. Hai visto cosa succede per il secondo modo? La massa centrale, quella al secondo livello resta ferma, perchè rappresenta il nodo del sistema di cui abbiamo parlato sopra.

E il terzo modo di vibrare? I conti non tornano. Tre gradi di libertà dovrebbero dare tre modi di vibrare, ma il video che ti ho mostrato si ferma al secondo. Il terzo modo non è stato attivato perchè richiede una frequenza troppo alta e la macchina non è in grado di raggiungerla per motivi tecnici. Poichè non voglio lasciarti a bocca asciutta, ti mostro comunque il terzo modo. Lì dove non arrivano i test sperimentali, ci arriva l’analisi numerica. Ho riprodotto lo stesso modellino in un software di calcolo strutturale e ho lanciato un’analisi modale per ottenere il terzo modo di vibrare. Il terzo modo si attiva ad una frequenza pari a 17.06 Hz.

Eccolo qui:

Terzo_Modo

 

Come potevamo aspettarci il terzo modo ha due punti di nullo, ovvero due nodi, evidenziati in rosso nell’immagine. Ora tutto quadra ;).

Conclusioni: cosa succede per le strutture tridimensionali?

Veniamo alla parte finale di questo post. Finora abbiamo analizzato sistemi bidimensionali, liberi di oscillare solo nel piano. Per fortuna non viviamo in un mondo piatto, ma la realtà ha tre dimensioni. Perciò è lecito chiedersi cosa accade per un sistema tridimensionale e da quanti gradi di libertà è caratterizzato.

 

Una struttura tridimensionale ha tre gradi di libertà per ciascun piano. Ciascun impalcato, nella prassi tecnica, è ipotizzato infinitamente rigido nel suo piano e potrà spostarsi lungo l’asse X, lungo l’asse Y o ruotare intorno all’asse Z.

NTC2008 – par. 7.2.6

Quindi una struttura di tre piani avrà un numero di gradi di libertà pari a: 3 piani * 3 = 9 modi di vibrare propri.

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L’articolo finisce qui. Spero sia stato interessante e utile per chiarire i concetti base che riguardano l’analisi dinamica di una struttura. Penso che non sia solo importante saper usare bene un software di calcolo; l’utilizzo di un software può apprenderlo chiunque in tempi brevi. Ciò che è davvero importante è avere chiari in mente i concetti alla base delle analisi che eseguiamo. I software cambieranno, saranno rilasciate continuamente nuove versioni, sempre più belle e sempre più complete. Ciò che cambierà più difficilmente è il contenuto, i principi su cui si fondano le analisi che eseguiamo.

Noi ci aggiorniamo al prossimo articolo. Se questo post ti è paciuto, puoi condividerlo con i tuoi amici e colleghi cliccando sui pulsantini social in fondo alla pagina. Ci conto ;). Se hai domande sull’argomento, puoi lasciare un commento qui sotto.

Al prossimo articolo.

Marco.