Analisi modale: come capirla in 6 minuti (con un esperimento pratico)

Cosa fa il tuo software di calcolo quando analizzi una costruzione in zona sismica? Che differenza c’è rispetto all’analisi statica in cui non si considerano gli effetti dell’azione sismica? In quest’articolo ti parlo di una tipologia di analisi necessaria per il calcolo delle strutture in zona sismica: l’analisi modale. Seguimi nel prosieguo dell’articolo per scoprire cos’è.

Alla fine del post potrai scaricare una risorsa interattiva che ti aiuterà a capire i concetti di base dell’analisi modale e i parametri che entrano in gioco nella determinazione dei modi di vibrare di un sistema strutturale.

Analisi modale: una scena ricorrente per i progettisti strutturali

Sei alle prese con un calcolo strutturale di una costruzione in zona sismica. Hai creato il modello con cura nel tuo software di calcolo, non ti resta che cliccare sul tasto che lancia il calcolo. Click, partito! Il tuo pc si lancia in una corsa verso i risultati finali finché compare il tanto atteso messaggio: Calcolo completato! Se sei curioso di sapere cosa accade durante i minuti che separano il tuo click sul bottone “Calcola” dal messaggio “Calcolo completato” continua a leggere per saperne di più.

Le tipologie di analisi definite dalla Normativa Tecnica

Le NTC2018 definiscono due tipi di analisi: analisi dinamiche e analisi statiche. L’analisi modale rientra nella categoria delle analisi dinamiche. Ti riporto di seguito l’estratto della Normativa Tecnica in merito:

[…] i metodi d’analisi sono articolati anche in relazione al fatto che l’equilibrio sia trattato dinamicamente o staticamente. Il metodo d’analisi lineare di riferimento per determinare gli effetti dell’azione sismica, per comportamenti strutturali sia dissipativi sia non dissipativi, è l’analisi modale con spettro di risposta o “analisi lineare dinamica”. In essa l’equilibrio è trattato dinamicamente e l’azione sismica è modellata attraverso lo spettro di progetto […].

par. 7.3.2 – NTC2018

Cosa fa l’analisi modale: l’esperimento del pendolo

L’analisi modale ricerca i modi di vibrare di una struttura e per ciascun modo di vibrare calcola il suo periodo naturale di vibrazione, ossia l’intervallo di tempo che la struttura impiega per eseguire un’oscillazione completa secondo una configurazione deformata affine ad un suo modo di vibrare. Per un sistema vibrante vale una regola generale: il numero dei modi di vibrare sarà pari al numero di gradi di libertà del sistema. Vediamo grazie ad un semplice esperimento cosa sono i modi di vibrare.

Il pendolo semplice: sistema ad un solo grado di libertà

Immagina di avere un pendolo semplice vincolato in modo da oscillare solo in un piano. Spostando leggermente il pendolo dalla sua posizione di equilibrio, lasciandolo libero inizierà ad oscillare.

In ogni istante lo spostamento del pendolo può essere definito dall’angolo che l’asta del pendolo forma con la verticale. Un pendolo semplice come quello di quest’esempio può oscillare in un solo modo. Riportando in un grafico il valore dell’angolo α che l’asta del pendolo forma con la verticale in funzione del tempo, la legge di variazione dell’angolo avrà un andamento cosinusoidale. Il pendolo semplice di quest’esempio avrà un solo grado di libertà, l’angolo α con la verticale, ed un solo modo di vibrare.

Due pendoli in serie: sistema a due gradi di libertà

Ora immagina di avere due pendoli collegati in serie l’uno all’altro. In questo caso il sistema avrà due gradi di libertà: gli angoli α e β che le aste dei pendoli formano con la verticale. Il sistema essendo dotato di due gradi di libertà, avrà di conseguenza due modi di vibrare. Quali sono questi due modi di vibrare? Come si fa ad individuarli?

Per un sistema ad un solo grado di libertà, come il pendolo dell’esempio precedente, è molto semplice individuare il suo modo di vibrare: basterà spostare il pendolo dalla sua posizione di equilibrio e per qualunque spostamento iniziale, il pendolo oscillerà secondo il suo unico modo di vibrare.

Per un sistema a più gradi di libertà bisogna invece trovare una configurazione di spostamenti iniziali tali per cui il sistema oscilli secondo un modo di vibrare proprio. Per trovare i modi di vibrare del sistema si potrebbe procedere per tentativi spostando i due pendoli dalla posizione di equilibrio e lasciandoli oscillare. Registrando in un grafico il valore degli angoli α e β in funzione del tempo potranno verificarsi due condizioni:

i parametri α e β non variano con legge cosinusoidale e la configurazione iniziale di spostamenti non è un modo di vibrare.
i parametri α e β variano con legge cosinusoidale, in tal caso il sistema sta oscillando secondo un suo modo di vibrare;

Ovviamente sarebbe impensabile ricercare i modi di vibrare di un sistema oscillante procedendo per tentativi, in particolar modo nel caso delle strutture. Per questo motivo ricorriamo all’analisi modale. L’analisi modale cerca i modi di vibrare di un sistema vibrante risolvendo un sistema di equazioni. Il metodo di risoluzione che si adopera è complesso, entrano in gioco equazioni differenziali del moto in forma matriciale che puoi trovare esplicate nei testi scientifici specialistici dedicati all’argomento (ti consiglio a tal proposito il testo Dynamics of Structures di Anil K. Chopra).

Dai pendoli alle strutture: analisi modale di un telaio piano a due livelli

Il comportamento appena visto per i pendoli dell’esempio precedente vale allo stesso modo per le strutture. Una struttura può essere vista come un pendolo rovesciato: la parte fissa in basso (le fondazioni) e la parte libera di oscillare in alto (le masse degli impalcati di piano). Ma il comportamento dinamico è praticamente lo stesso.

Per un telaio piano ciascun livello avrà un solo grado di libertà: lo spostamento orizzontale lungo l’asse X. Pertanto un telaio a due livelli con traversi rigidi avrà due gradi di libertà e di conseguenza avrà due modi proprio di vibrare (potrai visualizzarli nell’animazione riprodotta dalla risorsa interattiva che puoi scaricare fra poco).

Per un sistema strutturale tridimensionale invece i gradi di libertà saranno tre per ciascun impalcato di piano nel caso in cui l’impalcato sia infinitamente rigido nel proprio piano. In tal caso ciascun impalcato di piano avrà tre gradi di libertà: traslazione lungo l’asse X, traslazione l’asse Y e rotazione nel piano XY. Esempio: una struttura con 3 impalcati avrà 3 gradi di libertà per ciascun impalcato per un totale di 9 gradi di libertà. Di conseguenza i modi di vibrare saranno 9.

Analisi modale: scarica la risorsa interattiva

Un’immagine vale più di mille parole e un’animazione vale più di mille immagini. Nella risorsa interattiva allegata all’articolo potrai vedere con l’ausilio di animazioni e grafici cosa accade per un telaio piano a due livelli con traversi rigidi quando i traversi vengono spostati dalla posizione di equilibrio e vengono lasciati liberi di oscillare.

Potrai impostare arbitrariamente gli spostamenti iniziali dei traversi e far partire l’oscillazione. Oppure potrai selezionare una configurazione di spostamenti iniziali affine ad un modo di vibrare del sistema. Per scaricare la risorsa compila i campi qui sotto. Riceverai all’istante una mail contenente il link per eseguire il download.

Conclusioni

6 minuti è il tempo medio di lettura di questo post. In questo breve intervallo di tempo spero di esserti riuscito a spiegare in maniera semplice cosa fa un’analisi matematico-fisica complessa. Se hai trovato utile l’articolo clicca sui tasti di condivisione social in basso per suggerirlo ai tuoi colleghi su Linkedin o ai tuoi amici su Facebook.

Se sei un ingegnere di recente formazione probabilmente avrai già delle nozioni di base sull’analisi modale. Se sei invece un ingegnere con un po’ di esperienza alle spalle, abituato a ragionare in termini di tensioni ammissibili, probabilmente non avrai avuto modo di studiare ai tempi dell’Università i princìpi dell’analisi modale. Spero che questo articolo ti abbia dato delle spiegazioni semplici ed efficaci. Nel blog è disponibile anche una versione video dell’articolo a questo link.

Al prossimo articolo.

Marco