Ecco come funziona un software di calcolo strutturale

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Se sei un ingegnere strutturista e ogni giorno hai a che fare con calcoli strutturali e software di calcolo quest’articolo fa al caso tuo. Spesso siamo presi dalla fretta di chiudere un lavoro, ultimare un progetto, completare tutte le tavole e le relazioni. Capita però che con tutto questo correre, ci dimentichiamo di come funzionano gli strumenti che abbiamo e di come potremmo ottimizzare il nostro lavoro tenendolo presente. Quando ci troviamo a dover eseguire un calcolo strutturale, il 95% del tempo lo impieghiamo nella creazione del modello di calcolo. Il calcolo strutturale vero e proprio occupa solo il restante 5% di tempo e in più a noi non è richiesto di fare assolutamente niente: ci pensa il nostro super software aggiornato all’ultima potentissima versione.

Ma hai chiaro in mente dopo aver cliccato sul tasto che lancia il calcolo cosa succede? Come fa un software di calcolo a tirare fuori i risultati che ci servono? Spostamenti, sollecitazioni, tagli, momenti, sforzi normali sembrano venir fuori come per magia. Sapere come risolve il problema un software di calcolo può essere molto importante per un progettista strutturale perché aiuta ad ottimizzare la creazione del modello di calcolo e a tenere sotto controllo i risultati. Ciò può rendere i modelli di calcolo che creiamo più leggeri e l’analisi da eseguire più veloce, impegnando meno risorse del nostro pc.

Il concetto di base tramite il quale il nostro software trova una soluzione al problema statico di un modello strutturale è molto semplice ed è riassumibile nell’immagine sottostante.

Molla

Non te l’aspettavi eh? Una semplice molla! Probabilmente sei più abituato a vederla schematizzata come nell’immagine qui sotto. Sei perplesso? Forse ti stai chiedendo cosa c’entri una molla con la risoluzione di complessi modelli strutturali. In realtà c’entra, continua a leggere per scoprirlo.

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Il comportamento di una struttura in campo elastico è esattamente come una molla con un carico applicato. Noi conosciamo il carico applicato e la rigidezza della molla. Ciò che ci interessa sapere è lo spostamento dell’estremità della molla sotto l’effetto del carico. Niente di più semplice per un sistema lineare del genere: basta fare il rapporto tra la forza e la rigidezza della molla per ottenere lo spostamento risultante.

Quanto descritto sopra è vero per un sistema semplice come quello della molla con una sola forza verticale applicata. Ma cosa cambia per un sistema più complesso come una struttura? Cosa c’è di diverso fra la molla vista sopra e il nostro modello strutturale? Concettualmente niente! Entrambi hanno un comportamento elastico, entrambi manifestano uno spostamento per effetto dei carichi applicati. Ci sono però delle differenze che rendono la risoluzione del problema più complessa. I gradi di libertà del sistema sono molto più numerosi: mentre per lo schema semplice di una molla l’unico grado di libertà è lo spostamento verticale dell’estremità, in una struttura ciascun nodo ha sei gradi di libertà nello spazio (una bella differenza). La rigidezza del sistema non è più descritta da un solo parametro di rigidezza (K nel caso della molla), bensì da un insieme di parametri raccolti in una matrice, ovvero la matrice di rigidezza.

Il processo di risoluzione del problema statico di una struttura eseguito da un software può essere riassunto in 5 passaggi descritti di seguito. Tenere a mente questi passaggi ti farà sembrare meno misterioso il modo in cui un software di calcolo ci fornisce i risultati e ti renderà consapevole di come risolvere eventuali problemi e rimediare ad errori del calcolo.

Ecco di seguito i cinque passaggi chiave eseguiti da un software di calcolo:

 1. Creazione della matrice di rigidezza

Dietro la bella schermata tridimensionale che vediamo sullo schermo dei nostri pc non c’è nient’altro che un insieme di numeri organizzati in una matrice: la matrice di rigidezza del nostro sistema strutturale. Ogni elemento asta che creiamo nel nostro modello ha una propria matrice di rigidezza di dimensioni 6×6. Quando iniziamo a connettere tra loro le diverse aste, in corrispondenza dei nodi della struttura, in realtà stiamo dando vita ad una matrice di rigidezza globale del modello di calcolo. A crearla ci penserà il nostro software di calcolo quando clicchiamo sul tasto “Calcola”.

Matrice_Rig

La matrice di rigidezza globale avrà una dimensione pari al numero di nodi della struttura moltiplicato per il numero di gradi di libertà di ciascun nodo. Per una struttura tridimensionale abbiamo sei gradi di libertà per ciascun nodo (tre spostamenti lungo i tre assi X,Y,Z e tre rotazioni attorno a ciascun asse). Quindi la dimensione totale della matrice sarà 6 x  il numero di nodi. Questa informazione ci può essere utile per ottimizzare il nostro modello di calcolo: riducendo al minimo il numero di nodi necessari. Meno nodi abbiamo, più piccola sarà la matrice di rigidezza, meno tempo ci vorrà per la risoluzione. Questa informazione può esserci utile per eliminare i nodi del nostro modello non strettamente necessari (per esempio un’asta divisa in due o più elementi che potrebbe essere modellata come un unico elemento).

 2. Applicazione dei vincoli

La matrice di rigidezza non è sufficiente da sola a darci la soluzione del problema statico che stiamo cercando. Questa matrice verrà manipolata e modificata dal nostro software. Tale modifica avverrà in funzione dei vincoli esterni della nostra struttura. Un esempio: se abbiamo creato un telaio multipiano tridimensionale, la matrice di rigidezza sarà manipolata in modo diverso se alla base dei pilastri applichiamo un vincolo incastro oppure un vincolo cerniera. A seconda dei gradi di libertà che sopprimiamo per i nodi in cui è applicato un vincolo esterno, verrà modificata di conseguenza la matrice di rigidezza globale della struttura.

3. Il passo chiave: il calcolo della matrice inversa

Per ottenere la soluzione del problema statico che stiamo analizzando, il passaggio più importante, e anche il più complesso, è il calcolo della matrice inversa. Gli algoritmi per il calcolo della matrice inversa sono abbastanza complessi. E’ questa la fase del calcolo che richiede le maggiori risorse alla CPU del nostro computer. Questa fase del calcolo è anche quella che ci dice se abbiamo applicato correttamente tutti i vincoli interni ed esterni oppure no. Nel caso in cui ci fossero delle labilità nel nostro modello, sarebbe impossibile creare la matrice inversa ed il software andrebbe in errore.

 4. Il Vettore dei carichi applicati e il calcolo degli spostamenti

Tutti i carichi esterni che abbiamo applicato al nostro modello vengono organizzati nel vettore dei carichi nodali. Questo vettore racchiude tutti i carichi nodali applicati al modello. Una volto noto questo vettore, il gioco è fatto! Come per la molla della foto sopra, anche per la nostra struttura ottenere la soluzione del problema seguirà lo stesso procedimento.

  • Caso semplice della molla:   F = kX   —–>   X = F/k
  • Struttura complessa:            [F] = [[K]] [X]    —–>   [X] = [[K]] ^ (-1) [X]

Nota: [..] indica un vettore,  [[..]] indica una matrice.

 5. Output dei risultati

Noti gli spostamenti nodali non resta che calcolare le sollecitazioni di ciascun elemento strutturale. In questo caso torna in gioco la matrice di rigidezza 6×6 di ciascuna asta di cui abbiamo parlato all’inizio dell’articolo e non più la matrice di rigidezza globale. Alla fine del processo possiamo visualizzare comodamente sui nostri monitor tutti i risultati di cui abbiamo bisogno presentati nella forma che più ci piace:

  • Diagrammi delle sollecitazioni
  • Configurazione deformata con scala cromatica dei valori
  • Risultati in forma tabellare.

Deformation

Conclusione

Se sei arrivato fin qui dovresti avere un po’ più chiari i passaggi che segue un software di calcolo strutturale quando gli diamo in pasto una bella struttura da risolvere. Una piccola nota: il procedimento descritto sopra è valido per la risoluzione del problema per analisi statiche in assenza di azione sismica. Cosa succede quando c’è di mezzo l’azione sismica? In questo caso entrerà in gioco l’analisi dinamica modale (ne parlo in questo articolo). L’impostazione della risoluzione è simile a quella vista sopra, ci sono però alcune differenze. Ma di questo ne parleremo in un prossimo articolo.

Spero che quest’articolo ti sia stato utile per chiarirti le idee o per riportare alla memoria concetti che erano un po’ arrugginiti con il passare del tempo. Se l’articolo ti è piaciuto condividilo pure con i tuoi amici e colleghi cliccando sui tasti social. Mi piacerebbe anche conoscere un tuo parere nei commenti.

Al prossimo articolo.

Marco