Spettri elastici: come sono stati ottenuti grazie a un lollipop

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Quando progettiamo una struttura in zona sismica, per applicare la sollecitazione sismica nel 90% dei casi eseguiamo un’Analisi Modale con Spettro di Risposta. Lo spettro di risposta ci dice quale sarà l’accelerazione massima che subirà la nostra struttura durante un evento sismico con una data probabilità di accadimento e quindi di conseguenza quale sarà l’azione sismica che solleciterà la nostra struttura. In quest’articolo voglio parlarti di come sono stati ottenuti gli spettri elastici di progetto che utilizziamo ogni qual volta eseguiamo la progettazione e la verifica di una struttura in zona sismica.

Lo spettro elastico in  termini di accelerazione è un grafico che riporta per un determinato range di periodi di vibrazione (in genere da 0 a 4 secondi) l’accelerazione massima che subisce la nostra struttura ipotizzata indefinitamente elastica. Ti riporto qui sotto degli spettri elastici conformi alle prescrizioni delle NTC2008 e corrispondenti ad un sito geografico di esempio.

Spettri_NTC

Spettri elastici di esempio ai sensi delle NTC2008

Osservando uno spettro di progetto possiamo subito intuire che l’entità dell’azione sismica che solleciterà la nostra struttura non dipende soltanto dalla posizione geografica del sito e dal tipo di suolo, ma anche e soprattutto da un’altro importantissimo fattore: il periodo di vibrazione della nostra struttura. Il periodo di vibrazione a sua volta dipende da com’è fatta la nostra struttura: dalle sezioni dei pilastri e delle travi, dalla loro disposizione in pianta, dalla presenza o meno di setti, dalla sua massa.

Veniamo al punto chiave di questo post: come sono stati ottenuti gli spettri elastici di progetto?

Il punto di partenza: la struttura a lollipop

Tutto parte da un oggetto molto semplice: la struttura a lollipop. Letteralmente lollipop vuol dire lecca lecca; l’oggetto che è stato utilizzato per calcolare gli spettri elastici non è altro che un oscillatore semplice ovvero un sistema vibrante costituito da un’asta verticale ed una massa concentrata alla sommità. La sua forma richiama proprio quella di un lollipop, da cui deriva il suo nome.

Lollipop02

Struttura a lollipop

Le caratteristiche di un oscillatore semplice sono tre:

  • la massa concentrata alla sommità
  • la rigidezza dell’asta che dipende dalla sua lunghezza e dalla sua sezione
  • lo smorzamento viscoso ovvero la progressiva riduzione che subisce l’ampiezza delle oscillazioni nel tempo dovuta alla viscosità dei materiali e all’attrito dell’aria. Per le strutture lo smorzamento assume un valore di circa il 5%.

Il periodo di vibrazione dell’oscillatore semplice è una caratteristica che deriva dalla sua massa e dalla sua rigidezza attraverso la seguente formula:

T = 2 * PiGreco √ (M / k)

  • M = massa del sistema
  • k = rigidezza del sistema

periodo di vibrazione di un oscillatore semplice

Come puoi vedere dalla formula sopra, aumentando la massa aumenterà il periodo di vibrazione; viceversa aumentando la rigidezza k diminuirà il periodo di vibrazione.

Per una struttura a lollipop è molto semplice far variare il periodo di vibrazione: è sufficiente variare l’entità della massa oppure la lunghezza dell’asta. All’aumentare della massa aumenterà il periodo di vibrazione, al diminuire della lunghezza dell’asta aumenterà la rigidezza del sistema e di conseguenza diminuirà il periodo di vibrazione. Quindi per variare il periodo di vibrazione di un oscillatore semplice possiamo scegliere di intervenire solo sulla massa, solo sulla rigidezza, oppure su entrambi.

Oscillatori

Oscillatori semplici con diversi periodi di vibrazione

Utilizzare la struttura a lollipop per ricavare gli spettri di progetto ha diversi vantaggi, in particolare:

  • è un sistema semplice da analizzare
  • può riprodurre qualsiasi periodo di vibrazione variando l’entità della massa o la lunghezza dell’asta
  • può rappresentare la struttura equivalente di una qualsiasi costruzione multipiano

Nel seguito di questo post voglio illustrarti passo-passo il procedimento utilizzato dai centri di ricerca incaricati per ottenere gli spettri elastici di progetto. Seguimi nel prosieguo dell’articolo.

 

1. Selezione degli accelerogrammi da fornire in input

ELC

Per ottenere uno spettro di progetto il primo passo da compiere è individuare una serie di accelerogrammi di eventi sismici reali verificatisi in passato. Le accelerazioni registrate dai sismografi saranno applicate alla base della nostra struttura a lollipop per studiare la risposta del sistema. Un accelerogramma è la registrazione dell’accelerazione che manifesta il suolo durante un evento sismico. Queste registrazioni vengono effettuate da apposite stazioni sismiche. In Italia le registrazioni degli eventi sismici vengono effettuate dalla rete Enea-Enel, creata nel 1973.

2. Risposta dell’oscillatore semplice

Attraverso metodi numerici di integrazione (per esempio il metodo di Newmark) nei quali le equazioni del moto vengono risolte numericamente per ogni istante di tempo, si ottiene la risposta della struttura a lollipop in termini di accelerazione, spostamento e velocità. Per “risposta” si intende la conoscenza istante per istante dell’andamento delle grandezze citate sopra in seguito all’accelerazione che subisce la base del lollipop fornita dall’accelerogramma utilizzato. Viene quindi individuata la risposta massima in termini di accelerazione che manifesta la struttura a lollipop soggetta all’accelerogramma dato in input. Questa risposta massima verrà riportata nello spettro di progetto in corrispondenza del periodo di vibrazione caratteristico dell’oscillatore semplice analizzato e indipendentemente dall’istante di tempo in cui si verifica.

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Risposta in termini di spostamento di un’oscillatore semplice – Accelerogramma del terremoto di El-Centro

Nell’immagine sopra puoi vedere la risposta all’accelerogramma del terremoto di El-Centro in termini di spostamento di un oscillatore semplice con periodo di vibrazione To = 1 s e smorzamento ξ pari a 0.05  e l’individuazione della risposta massima pari a 15.16 cm.

 

3. Spettro in termini di accelerazione relativo al singolo accelerogramma

Lo step 2 viene ripetuto di nuovo per diversi valori del periodo di vibrazione dell’oscillatore semplice in modo tale da coprire il range di periodi che riguardano i casi reali: da zero a quattro secondi circa. In questo modo si costruirà lo spettro di progetto corrispondente ad un dato accelerogramma. Nell’immagine sotto puoi vedere lo spettro ottenuto fornendo in input un solo accelerogramma. Per ottenere lo spettro riportato più in basso è stato necessario analizzare un adeguato numero di oscillatori semplici con diversi periodi di vibrazione contenuti nel range di interesse. Per l’immagine in questione sono stati analizzati 53 oscillatori semplici ciascuno con periodo di vibrazione compreso fra 0.02 e 3 s.  Entrando nello spettro con un valore del periodo di vibrazione è possibile leggere l’accelerazione massima manifestata dall’oscillatore semplice.

Spettro_EL

Spettro elastico in termini di accelerazioni – Ascissa Periodo T [s], Ordinata accelerazione [g]

4. Iterazione del procedimento

Utilizzare l’accelerogramma di un solo sisma non ci consentirà di raggiungere un livello di sicurezza accettabile. Ciò di cui abbiamo bisogno è analizzare una famiglia di accelerogrammi di eventi sismici verificatisi in passato e che siano caratterizzati da una data probabilità di accadimento.

Lo step 3 viene quindi ripetuto per un adeguato numero di accelerogrammi, tutti caratterizzati da una data probabilità di accadimento dell’evento sismico. Sovrapponendo gli spettri ottenuti otterremo un inviluppo delle massime accelerazioni che la nostra struttura a lollipop subisce in risposta a tutti gli accelerogrammi analizzati. Lo spettro di progetto non è altro che l’inviluppo di tutti gli spettri ottenuti. Puoi vedere sotto un’immagine di quello che si ottiene sovrapponendo gli spettri in termini di accelerazione ciascuno corrispondente ad un diverso accelerogramma.

Inviluppo_Spettri

Inviluppo degli spettri elastici in termini di accelerazione

Ti ricorda qualcosa la forma di quest’inviluppo? Prova a confrontarli con la forma degli spettri elastici di progetto delle NTC2008. Come puoi vedere dall’immagine sotto, gli spettri elastici forniti dalla Normativa Tecnica non sono altro che l’inviluppo degli spettri in termini di accelerazione di numerosi oscillatori semplici sottoposti ad accelerogrammi di eventi sismici rappresentativi.

ConforntoSpettri02

 

Conclusioni

Dietro il semplice grafico di uno spettro elastico c’è un bel po’ di lavoro. Se ci pensi tutto il lavoro che è stato fatto per la creazione degli spettri è un onere di calcolo che viene risparmiato a ciascun progettista ogni qualvolta debba eseguire una progettazione in zona sismica. Grazie all’uso combinato dell’Analisi Modale (in quest’articolo ti spiego come capirla in 6 minuti) e degli spettri di progetto, il calcolo di una struttura è molto più veloce.

Ai fini del progetto di una struttura non ci interessa conoscere la sua risposta ad un evento sismico, ovvero non ci interessa conoscere istante per istante l’andamento delle accelerazioni e degli spostamenti che la struttura subisce durante un evento sismico. Quello che ci interessa sapere è la risposta massima che manifesta la struttura, in particolare l’accelerazione massima.

E’ per questo che utilizziamo gli spettri di progetto, perchè sono un potente strumento in grado di fornirci l’accelerazione massima che la nostra struttura può subire in funzione del suo periodo di vibrazione oltre che del sito geografico e del tipo di suolo.

Se non esistessero gli spettri di  progetto sarebbe tutto più complicato. Per ogni progettazione in zona sismica un progettista dovrebbe reperire gli accelerogrammi di eventi sismici rappresentativi della zona di interesse e analizzare la propria struttura con un’analisi dinamica lineare al passo, con una elevata complicazione dovuta al tipo di analisi, un grosso onere computazionale e un notevole sforzo in termini di tempo, essendo analisi che richiedono una certa durata soprattutto per modelli di grandi dimensioni.

Per fortuna c’è chi ha già fatto questo lavoro per noi, analizzando un oggetto molto semplice: un lollipop 🙂

Nell’immagine qui sotto ti riporto in sintesi il procedimento utilizzato per ottenere gli spettri di progetto.

Lollipop_Schema

Se sei arrivato fin qui la progettazione in zona sismica probabilmente è un argomento che ti interessa o forse è il punto chiave del tuo lavoro o del tuo percorso di studi. Conoscevi già il procedimento usato per ottenere gli spettri di progetto? Puoi farmelo sapere lasciando un commento in fondo alla pagina. Se l’articolo ti è piaciuto che ne dici di farlo conoscere ai tuoi amici e colleghi cliccando sui tasti social qui sotto?

Ci leggiamo al prossimo articolo.

Marco.