Gli spostamenti del tuo modello: se non sono piccoli devi preoccuparti

Quando analizziamo un sistema strutturale utilizzando un modello matematico è sempre importante tener conto delle ipotesi che sono alla base della nostra analisi. Trascurare queste ipotesi può portarci a commettere degli errori e invalidare l’intero calcolo che abbiamo eseguito. Nel post di oggi voglio parlarti di un’ipotesi che è alla base di qualsiasi calcolo strutturale che eseguiamo: l’ipotesi di piccoli spostamenti.

Che vuol dire piccoli spostamenti? Se ci pensi viviamo in un mondo di strutture deformate. Le strutture che ci circondano si trovano tutte nella loro configurazione deformata per effetto del peso proprio, dei carichi permanenti e dei carichi accidentali agenti. Il solaio sopra la tua testa è deformato, così come quello su cui poggia la sedia dalla quale stai leggendo quest’articolo.

Riesci a percepire queste deformazioni? Io penso di no. Per un osservatore che guarda una struttura ad occhio nudo non è possibile distinguere fra la configurazione deformata e la configurazione indeformata (a meno che la struttura non sia entrata in campo plastico per effetto di un sisma per esempio).

Da bravi progettisti strutturali siamo abituati a vedere le deformazioni di un sistema strutturale attraverso i monitor dei nostri pc. Nei nostri software di calcolo possiamo amplificare a piacimento tali deformazioni per apprezzarne l’andamento. Se l’ipotesi di piccoli spostamenti non è rispettata le decine e decine di pagine dei tuoi tabulati di calcolo rischiano di diventare carta straccia.

La maggior parte dei software di calcolo non dà nessun avviso nel caso in cui l’ipotesi di piccoli spostamenti non viene rispettata. Il software esegue comunque l’intero calcolo e tira fuori un risultato. Quasi sicuramente le verifiche non saranno soddisfatte, specie quelle allo Stato Limite di Esercizio che riguardano gli spostamenti. Ma il punto è che le sollecitazioni ottenute saranno errate se l’ipotesi di piccoli spostamenti non è rispettata.

Ti stai chiedendo perchè un calcolo strutturale può perdere di significato se l’ipotesi di piccoli spostamenti non è rispettata? Continua a leggere per scoprirlo.

Se gli spostamenti non sono piccoli il tuo calcolo è carta straccia

Per capire perchè l’ipotesi di piccoli spostamenti è cosi importante ai fini della validità del calcolo bisogna riportare alla memoria l’equazione della linea elastica. Non sono solito pubblicare formule o dimostrazioni di teoremi qui sul blog, in genere preferisco dare un taglio pratico ai post. Stavolta è necessaria un’eccezione.

Per risolvere il problema elastico di una trave bisogna risolvere l’equazione della linea elastica. Quest’equazione mette in relazione la funzione della deformata dell’asse della trave con il carico distribuito applicato lungo l’asta. Te la riporto di seguito:

Equazione della linea elastica:

Integrando quattro volte quest’equazione ed imponendo le corrette condizioni al contorno, è possibile risolvere il problema elastico della trave e ottenere spostamenti e sollecitazioni. Ti stai chiedendo da dove viene fuori l’equazione della linea elastica? Come ti ho già detto non sono solito riportare qui sul blog formule e passaggi matematici. Ti rimando pertanto ai testi scientifici sull’argomento. Se proprio vuoi fare un richiamino veloce online, ti suggerisco questa pagina che riporta un sintetico riepilogo sull’equazione differenziale della linea elastica.

In realtà l’equazione della linea elastica che puoi vedere sopra è un’espressione semplificata rispetto alla sua forma completa. La semplificazione deriva proprio dall’ipotesi di piccoli spostamenti.

L’equazione della linea elastica se l’ipotesi di piccoli spostamenti venisse rimossa sarebbe questa:

Nel caso di piccoli spostamenti il termine a denominatore dy/dx elevato al quadrato diventa trascurabile. Elidendo tale termine si ritorna all’equazione della linea elastica (1).

Come hai potuto vedere dalle formule riportate sopra, integrare l’equazione (2) sarebbe senz’altro più complesso. Ma ti dirò di più. I software di calcolo non sono implementati per risolvere l’equazione (2). L’algoritmo dei software di calcolo è stato creato dando per scontato l’assunzione dell’ipotesi di piccoli spostamenti. Pertanto se gli spostamenti del tuo modello non sono effettivamente piccoli, il tuo calcolo perde di validità. A meno che il tuo software non abbia una funzione apposita per analisi del secondo ordine o del terzo ordine che rimuovono l’ipotesi di piccoli spostamenti, ma si tratta di analisi avanzate che vengono utilizzate in casi particolari.

Un’altra conseguenza dell’ipotesi di piccoli spostamenti

Per effetto dell’ipotesi di piccoli spostamenti le sollecitazioni negli elementi strutturali vengono calcolate considerando la struttura nella sua configurazione indeformata. Cosa vuol dire? Te lo spiego meglio con un esempio. Ho creato un modello di esempio utilizzando Ca.Tel.2D, l’applicazione del blog per l’analisi di modelli strutturali piani. Se non l’hai ancora scaricata, puoi farlo  a questo link. Il modello di esempio che ti propongo è costituito da un’asta verticale ed una orizzontale, con una forza concentrata verticale applicata all’estremità nel nodo 3.

Modello di esempio creato con Ca.Tel.2D

Il punto di applicazione della forza verticale, per effetto della deformazione delle aste, si sposterà sia verticalmente che orizzontalmente. Di conseguenza, a causa dello spostamento orizzontale aumenterà il braccio della forza rispetto all’incastro di base del sistema.

Configurazione deformata – Ca.Tel.2D

Momento sollecitante – Ca.Tel.2D

Aumentando il braccio della forza, aumenterà il momento sollecitante e di conseguenza lo spostamento verticale e orizzontale e così via. Per raggiungere la soluzione del problema bisognerebbe eseguire un calcolo iterativo finchè l’incremento di sollecitazioni non diventi trascurabile rispetto al valore del momento flettente.

L’ipotesi di piccoli spostamenti ci evita di dover eseguire un calcolo iterativo e le sollecitazioni ottenute saranno quelle calcolate considerando la struttura nella sua configurazione indeformata.

Quanto devono essere piccoli gli spostamenti?

I testi scientifici citano l’ipotesi di piccoli spostamenti, ma non ho mai visto specificato quanto devono essere piccoli questi spostamenti. Che vuol dire piccoli spostamenti? Piccoli quanto? Possiamo provare a rispondere a questa domanda con un esempio pratico.

L’ipotesi di piccoli spostamenti fa si che sia possibile confondere l’angolo di rotazione della sezione di una trave nella configurazione deformata con la tangente di tale angolo e di conseguenza con la derivata prima della funzione spostamento calcolata nel punto corrispondente alla sezione.

Il valore limite della rotazione della sezione per far sì che sia possibile confondere l’angolo con la sua tangente e di conseguenza con la derivata prima dello spostamento è pari a 0.114 radianti, ovvero circa 6.53°. Ti riporto un esempio creato con Ca.Tel.2D. Consideriamo lo schema di una trave appoggiata-appoggiata con una forza concentrata in mezzeria e una luce di 6 metri. Qual è lo spostamento massimo in mezzeria per far si che l’ipotesi di piccoli spostamenti sia soddisfatta?

Trave appoggiata-appoggiata, L = 6 m, Sezione 30×60, materiale calcestruzzo, E= 30000 N/mmq – Ca.Tel.2D

Configurazione deformata – Ca.Tel.2D

La rotazione massima che possiamo avere alla sezione di estremità in corrispondenza dell’appoggio è pari a phi = 0.114 rad; la tangente di phi sarà anch’essa pari a 0.114. A tale rotazione di estremità corrisponde uno spostamento in mezzeria pari a 228 mm.

Rapportando tale spostamento alla lunghezza della trave, possiamo dire che per una trave appoggiata-appoggiata  di lunghezza 6 metri l’ipotesi di piccoli spostamenti è soddisfatta se l’abbassamento in mezzeria non supera all’incirca 1/26 della lunghezza della trave.

Conclusioni

L’argomento del post di oggi è un po’ più tecnico del solito. E’ stato necessario richiamare alla memoria equazioni della linea elastica, derivate prime e tipologie di analisi. Il messaggio che vorrei trasmetterti è che i software di calcolo automatizzano le procedure, ma è compito del progettista accertarsi che il calcolo sia valido e che tutte le ipotesi alla base dell’analisi siano rispettate. Per far ciò bisogna avere consapevolezza di ciò che si sta facendo in modo da essere in grado di osservare i risultati con spirito critico.

Spero tu abbia trovato utile il contenuto del post di oggi. Se ti è piaciuto puoi suggerirlo ai tuoi amici e colleghi cliccando sui tasti di condivisione social che trovi in fondo alla pagina. Ti eri mai soffermato a riflettere sull’importanza dell’ipotesi di piccoli spostamenti? Puoi farmelo sapere lasciando un commento al post.

Al prossimo articolo.

Marco.