Legame Momento-Curvatura: 3 fattori chiave [nuova risorsa utility]

La capacità di una struttura di dissipare energia in presenza di un evento sismico è di fondamentale importanza per la sicurezza e la prevenzione dal collasso. A questo scopo giocano un ruolo fondamentale le cerniere plastiche e la duttilità degli elementi strutturali che la compongono. La capacità di una sezione di esibire rotazioni in campo plastico dipende dal valore della curvatura ultima che la sezione è in grado di raggiungere.

Nel nuovo articolo di oggi scoprirai cos’è la curvatura di una trave, che legame esiste fra il momento sollecitante e la curvatura e perché è così importante per un progettista conoscere i fattori che influiscono sul valore della curvatura ultima di una sezione e di conseguenza sulla sua duttilità.

Alla fine del post potrai scaricare gratuitamente una nuova Risorsa Utility. Grazie a questa risorsa potrai calcolare in automatico il legame Momento-Curvatura di una sezione in cemento armato e potrai visualizzare ad ogni step di calcolo le deformazioni e le tensioni agenti nella sezione. Non perderti la nuova risorsa di oggi, potrai scaricarla tra un po’. Sono sicuro che la troverai molto utile

Cos’è la curvatura di una trave

Prima di parlare del legame momento-curvatura di una sezione in cemento armato, partiamo dalle basi, chiarendo un punto fondamentale: cos’è la curvatura della deformata di una trave? (o di un qualsiasi altro elemento strutturale).

Per capire cos’è la curvatura ti propongo un semplice esempio: il classico schema di trave appoggiata-appoggiata caricata da un carico uniformemente distribuito. Ti riporto uno schema di seguito.

Se consideriamo la configurazione deformata della trave, in ogni punto dell’asse della trave possiamo individuare la rotazione che subisce la sezione rispetto alla configurazione indeformata in un riferimento globale. Ogni punto della trave nella sua configurazione deformata sarà caratterizzato da un certo valore della rotazione della sezione. 

Due punti sull’asse della trave, posti ad una certa distanza ΔX, avranno diverse rotazioni della sezione. La curvatura non è nient’altro che la differenza fra queste due rotazioni, rapportata alla distanza che le separa. 

χ  = (φ1 – φ2) / ΔX = Δφ / ΔX

  • χ = curvatura
  • φ = rotazione della sezione
  • ΔX = distanza fra le due sezioni considerate

Formula discretizzata della curvatura

Se riduciamo sempre di più la distanza ΔX fino a farla tendere a zero, otterremo il valore della curvatura in un punto dell’asse della trave.

Interpretazione geometrica della curvatura 

Il valore della curvatura è quindi dato dal rapporto fra una differenza di angoli (espressa in radianti) e la distanza che separa due punti sull’asse della trave. La sua dimensione sarà l’inverso di una distanza e si esprimerà per esempio in [1/mm]. E’ possibile dare un’interpretazione geometrica al valore della curvatura. La curvatura infatti è l’inverso del raggio del cerchio osculatore della deformata nel punto considerato.

  • Maggiore sarà il raggio del cerchio osculatore, minore sarà la curvatura;
  • Minore sarà il raggio del cerchio, maggiore sarà la curvatura;
  • Per raggio tendente a infinito, la curvatura tenderà a zero, ovvero asse rettilineo e indeformato.

Cerchio osculatore curvatura trave

Nell’ambito dell’analisi di una sezione in cemento armato, il valore della curvatura sarà dato dal rapporto fra la deformazione nel calcestruzzo compresso e la profondità dell’asse neutro.

Il legame momento curvatura per una sezione in c.a.

Ora che è hai chiaro cos’è la curvatura, possiamo parlare del legame momento-curvatura per una sezione in cemento armato. La curvatura di un elemento strutturale dipende dal valore del momento sollecitante agente. In particolare definita una sezione in cemento armato (dimensioni geometriche e armatura), a ciascun valore della curvatura corrisponderà un valore del momento resistente.

Il legame momento curvatura di una sezione fornisce importanti informazioni sulla duttilità di una sezione. In particolare possiamo definire la curvatura al limite elastico e la curvatura ultima, cui corrisponderà la rottura della sezione. Di seguito ti riporto il legame momento curvatura per una sezione rettangolare in c.a. calcolato con la Risorsa Utility che potrai scaricare in fondo alla pagina.

Momento curvatura sezione in cemento armato

Legame momento curvatura – sezione 30×60 – 4phi16 sup. + 4phi16 inf.

La Risorsa Utility ti permetterà di visualizzare per ogni valore della curvatura il diagramma delle deformazioni e delle tensioni e l’entità della profondità dell’asse neutro. Ti riporto un’immagine di esempio qui sotto.

deformazione e tensioni cls

Diagramma deformazioni e tensioni nel calcestruzzo in corrispondenza della curvatura ultima

Il legame Momento-Curvatura di una sezione in cemento armato è influenzato da tre elementi chiave:

  • quantità di armatura;
  • entità dello sforzo normale;
  • dimensioni della sezione;

La quantità di armatura

Nell’esempio di seguito puoi vedere un confronto del legame momento-curvatura calcolato per tre sezioni aventi le stesse  dimensioni (30×60 cm) ma diverse quantità di armatura inferiore. 

  • 4 phi 16 superiori + 4 phi 16 inferiori
  • 4 phi 16 superiori + 6 phi 16 inferiori
  • 4 phi 16 superiori + 8 phi 16 inferiori

Momento curvatura variazione armatura Come hai potuto vedere è stata incrementata solo l’armatura inferiore. In seguito all’incremento di armatura, il valore del momento resistente è aumentato passando da un valore minimo di circa 170 kNm (curva verde) ad un massimo di 340 kNm (curva grigia). Parallelamente però è diminuita la duttilità della sezione. Il valore della curvatura ultima si è ridotto a meno della metà passando da una valore di 8*10^-5 ad un valore di circa 3*10^-5. Di conseguenza la duttilità della sezione si è più che dimezzata.

Da quest’esempio risulta evidente che disponendo una quantità di armatura eccessiva rispetto a quella strettamente necessaria per il superamento della verifica, aumenteremo la resistenza della sezione, ma ridurremo notevolmente la sua duttilità.

L’entità dello sforzo normale

In questo secondo esempio è stata considerata una sezione di dimensioni 40×70 armata con 4 phi 16 superiori e 4 phi 16 inferiori. Questa volta è stato variato lo sforzo normale agente. Sono stati analizzati i seguenti tre casi:

  • Sforzo normale N = 0;
  • Sforzo normale N = 500 kN;
  • Sforzo normale N = 1000 kN.


Come puoi vedere, all’aumentare dello sforzo normale agente, aumenterà il valore del momento resistente (da 200 kNm a 450 kNm). Di pari passo però diminuirà la duttilità. La curvatura ultima infatti si riduce drasticamente passando da 5*10^-5 per N=0 a 1.5*10^-5 per N=1000 kN. Questo accade perchè la posizione dell’asse neutro diventa sempre più bassa man mano che aumenta lo sforzo normale. Di conseguenza diminuirà la curvatura ultima. 

tensioni e deformazioni sezione

N=1000 kN – Deformazione e tensioni nel cls in corrispondenza del raggiungimento della curvatura ultima della sezione

Per questo motivo le sezioni delle travi avranno una duttilità maggiore rispetto a quelle dei pilastri. Di conseguenza la corretta progettazione di una struttura farà in modo che  in presenza di un evento sismico le cerniere plastiche si formeranno nelle travi e non nei pilastri.

La geometria della sezione (trave a spessore o emergente)

Nell’ultimo esempio di questo post, ti mostro la differenza fra una trave a spessore e una trave emergente, aventi la stessa identica armatura, ma ovviamente dimensioni geometriche diverse.

  • Trave a spessore 100×20 4phi16 + 4phi16
  • Trave emergente 30×60 4phi16 + 4phi16

Come puoi vedere dal confronto fra le curve ottenute, passando da una trave a spessore ad una trave emergente il valore del momento resistente aumenta notevolmente (da 50 kNm a 170 kNm), mentre la duttilità subisce una leggera diminuzione (da 11*10^-5 a 8*10^-5).

Questo è uno dei motivi per cui se progettiamo una struttura in Classe di Duttilità Alta, non sarà possibile inserire delle travi a spessore nei telai sismo-resistenti. 

Scarica la Risorsa Utility

Risorsa Legame Momento-Curvatura

Schermata della Risorsa Utility

I grafici e le immagini che ti ho mostrato in questo post sono state ottenute utilizzando la nuova Risorsa Utility che questa settimana condivido gratuitamente con gli iscritti al blog. Grazie a questa risorsa potrai calcolare automaticamente il legame momento curvatura per una qualsiasi sezione rettangolare in cemento armato, definendo le dimensioni della sezione, l’armatura e le proprietà dei materiali.

Gli iscritti al blog hanno ricevuto il link per eseguire il download nell’email ricevuta alla pubblicazione dell’articolo. Se non sei ancora iscritto, puoi rimediare subito compilando i campi qui sotto. Riceverai all’istante un’email contenente il link per eseguire il download.

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Conclusioni

Nelle verifiche di resistenza allo Stato Limite Ultimo ciò che calcoliamo è il momento resistente in corrispondenza della curvatura ultima della sezione (punto finale del grafico Momento-Curvatura). La verifica di resistenza consiste nel confrontare il valore del momento resistente con il momento sollecitante. Ci disinteressiamo totalmente però della verifica della duttilità della sezione. Potremmo disporre una quantità di armatura eccessiva, la verifica di resistenza sarà soddisfatta, ma la duttilità della sezione non sarà adeguata all’entità di energia da dissipare in caso di sisma.

Ecco perchè la Normativa Tecnica prescrive dei limiti sulle quantità di armatura da disporre in funzione della classe di duttilità con cui scegliamo di progettare la struttura (classe di duttilità Alta o Bassa).

Il post di oggi finisce qui. Spero ti sia stato utile per approfondire questi importanti aspetti della progettazione. Se l’hai trovato utile puoi suggerirlo ai  tuoi amici sul tuo social preferito o ai tuoi colleghi su LinkedIn cliccando sui tasti di condivisione che trovi in fondo alla pagina.

Al prossimo post.

Marco.

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