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In quest’articolo scoprirai come calcolare il diagramma momento-curvatura di una sezione in calcestruzzo armato, da quali parametri geometrici e meccanici dipende la forma di tale diagramma e il valore della curvatura ultima e perché è così importante per la progettazione strutturale in presenza dell’azione sismica.

diagramma momento curvatura

La capacità di una struttura di dissipare energia in presenza di un evento sismico è di fondamentale importanza per la sicurezza di un edificio. A questo scopo gioca un ruolo fondamentale la duttilità degli elementi strutturali che la compongono. La capacità di una sezione di esibire rotazioni in campo plastico dipende dal valore della curvatura ultima che la sezione è in grado di raggiungere.

Nel corso dell’articolo potrai scaricare gratuitamente un foglio di calcolo implementato in Microsoft Excel grazie al quale potrai calcolare il diagramma momento-curvatura di una sezione in calcestruzzo armato e potrai visualizzare ad ogni step di calcolo le deformazioni e le tensioni agenti nel calcestruzzo e nell’acciaio di armatura.

Buona lettura!


Scarica il foglio Excel per il calcolo del diagramma momento-curvatura

foglio di calcolo excel per diagramma momento curvatura

Calcola il diagramma momento-curvatura di una sezione in calcestruzzo armato e visualizza il diagramma delle tensioni e delle deformazioni della sezione ad ogni step di calcolo.

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    Diagramma momento-curvatura: un breve richiamo sul concetto di curvatura

    Prima di parlare della costruzione del diagramma momento-curvatura di una sezione in calcestruzzo armato, partiamo dalle basi, chiarendo un punto fondamentale: cos’è la curvatura in un punto della deformata dell’asse di una trave? (Te ne ho parlato ampiamento in questo post).

    Per capire cos’è la curvatura ti propongo un semplice esempio, il classico schema di trave appoggiata-appoggiata caricata da un carico uniformemente distribuito. Ti riporto uno schema di seguito.

    curvatura di una trave

    Se consideriamo la configurazione deformata della trave, in ogni punto dell’asse della trave possiamo individuare la rotazione che subisce la sezione rispetto alla configurazione indeformata in un riferimento globale. Ogni punto della configurazione deformata dell’asse della trave sarà caratterizzato da un certo valore della rotazione della sezione. 

    Due punti sull’asse della trave, posti ad una distanza ΔX, esibiranno diverse rotazioni della sezione. La curvatura sarà data dalla differenza fra queste due rotazioni, rapportata alla distanza ΔX che le separa. 

    χ  = (φ1 – φ2) / ΔX = Δφ / ΔX

    • χ = curvatura
    • φ = rotazione della sezione
    • ΔX = distanza fra le due sezioni considerate

    Formula discretizzata della curvatura

    Riducendo sempre di più la distanza ΔX, fino a farla tendere a zero, otterremo il valore della curvatura in un punto dell’asse della trave.

    Diagramma momento-curvatura: interpretazione geometrica della curvatura 

    Il valore della curvatura è dunque dato dal rapporto fra la differenza degli angoli di rotazione (espressi in radianti) di due sezioni della configurazione deformata e la distanza che le separa. La dimensione della curvatura sarà pari all’inverso di una distanza e si esprimerà, per esempio, in 1/mm. E’ possibile dare un’interpretazione geometrica al valore della curvatura. La curvatura infatti sarà pari all’inverso del raggio del cerchio osculatore della deformata nel punto considerato.

    Pertanto maggiore sarà il raggio del cerchio osculatore, minore sarà la curvatura. Per raggio del cerchio osculatore tendente a infinito, la curvatura tenderà a zero, ovvero l’asse della trave sarà rettilineo e quindi indeformato.

    Cerchio osculatore curvatura trave

    Nell’ambito dell’analisi di una sezione in cemento armato, il valore della curvatura sarà dato dal rapporto fra la deformazione nel calcestruzzo compresso e la profondità dell’asse neutro.

    interpretazione geometrica della curvatura

    Diagramma del momento-curvatura: i 3 parametri che definiscono la sua forma

    Ora che ti è chiaro cos’è la curvatura, possiamo parlare del diagramma momento-curvatura per una sezione in calcestruzzo armato e dei 3 parametri che definiscono la sua forma, influendo sul valore della curvatura al limite elastico e della curvatura ultima.

    Definita una sezione in calcestruzzo armato (dimensioni geometriche, quantità di armature e proprietà meccaniche dei materiali), a ciascun valore della curvatura corrisponderà un valore del momento resistente. Di seguito ti riporto un diagramma momento curvatura di esempio, valido per una sezione rettangolare in calcestruzzo armato e calcolato con il foglio di calcolo Excel allegato a quest’articolo.

    diagramma momento curvatura per sezione in calcestruzzo armato

    Il foglio di calcolo Excel ti permetterà di visualizzare per ogni valore della curvatura il diagramma delle deformazioni e delle tensioni e la profondità dell’asse neutro. Ti riporto un’immagine di esempio qui sotto.

    curvatura ultima della sezione in calcestruzzo

    La forma del diagramma momento-curvatura di una sezione in calcestruzzo armato è influenzato da tre parametri:

    • quantità di armatura;
    • entità dello sforzo normale;
    • dimensioni della sezione.

    Nel seguito del post vedremo in che modo ciascuno dei tre parametri elencati, influisce sulla forma del diagramma momento curvatura.

    Diagramma momento curvatura: la quantità di armatura

    Nell’esempio di seguito puoi vedere un confronto del legame momento-curvatura calcolato per tre sezioni aventi le stesse  dimensioni (30×60 cm) ma diverse quantità di armatura inferiore. 

    • 4 phi 16 superiori + 4 phi 16 inferiori
    • 4 phi 16 superiori + 6 phi 16 inferiori
    • 4 phi 16 superiori + 8 phi 16 inferiori
    diagramma momento-curvatura al variare dell'armatura

    Come hai potuto vedere è stata incrementata solo l’armatura inferiore. In seguito all’incremento di armatura, il valore del momento resistente è aumentato passando da un valore minimo di circa 170 kNm (curva verde) ad un massimo di 340 kNm (curva grigia). Parallelamente però è diminuita la curvatura ultima della sezione. Il valore della curvatura ultima si è ridotto a meno della metà passando da una valore di 8∙10-5 ad un valore di circa 3∙10-5. Di conseguenza la duttilità della sezione si è più che dimezzata.

    Da quest’esempio risulta evidente che disponendo una quantità di armatura eccessiva rispetto a quella strettamente necessaria per il superamento della verifica di resistenza, aumenteremo la resistenza della sezione, ma ridurremo notevolmente la sua duttilità.

    Diagramma del momento curvatura: l’entità dello sforzo normale

    In questo secondo esempio è stata considerata una sezione di dimensioni 40×70 armata con 4 phi 16 superiori e 4 phi 16 inferiori. Questa volta è stato variato lo sforzo normale agente. Sono stati analizzati i seguenti tre casi:

    • sforzo normale N = 0;
    • sforzo normale N = 500 kN;
    • Sforzo normale N = 1000 kN.
    diagramma momento curvatura al variare dello sforzo normale

    Come puoi vedere, all’aumentare dello sforzo normale agente, aumenterà il valore del momento resistente (da 200 kNm a 450 kNm). Di pari passo però diminuirà drasticamente la curvatura ultima, passando da 5∙10-5 per N=0 a 1.5∙10-5 per N=1000 kN. Questo accade perché la posizione dell’asse neutro diventa sempre più bassa man mano che aumenta lo sforzo normale. Di conseguenza diminuirà la curvatura ultima. 

    tensioni e deformazioni sezione in calcestruzzo armato
    N=1000 kN – Deformazione e tensioni nel cls in corrispondenza del raggiungimento della curvatura ultima della sezione

    Per questo motivo le sezioni delle travi avranno una duttilità maggiore rispetto a quelle dei pilastri e la corretta progettazione di una struttura vuole che, in presenza di un evento sismico, le cerniere plastiche si formino nelle travi e non nei pilastri.

    Diagramma del momento curvatura: la geometria della sezione (trave a spessore o emergente)

    Nell’ultimo esempio di questo post, ti mostro la differenza fra una trave a spessore e una trave emergente, aventi la stessa identica armatura, ma dimensioni geometriche diverse:

    • trave a spessore 100×20 4phi16 + 4phi16
    • trave emergente 30×60 4phi16 + 4phi16
    diagramma momento-curvatura per trave emergente e a spessore

    Come puoi vedere dal confronto fra le curve ottenute, passando da una trave a spessore ad una trave emergente il valore del momento resistente aumenta notevolmente (da 50 kNm a 170 kNm), mentre la curvatura ultima subisce una leggera diminuzione (da 11∙10-5 a 8∙10-5). Questo è uno dei motivi per cui se progettiamo una struttura in Classe di Duttilità Alta, non sarà possibile inserire delle travi a spessore nei telai sismo-resistenti. 


    Scarica il file Excel per il calcolo del diagramma momento curvatura

    Foglio Excel per il calcolo del diagramma momento-curvatura

    I grafici e le immagini che ti ho mostrato in questo post sono state ottenute utilizzando la risorsa utility implementata in Microsoft Excel che condivido gratuitamente con gli iscritti al blog. Grazie a questa risorsa potrai calcolare automaticamente il diagramma momento curvatura per una qualsiasi sezione rettangolare in calcestruzzo armato, definendo le dimensioni della sezione, l’armatura e le proprietà dei materiali.

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      Conclusioni

      Dal diagramma momento curvatura di una sezione in calcestruzzo armato è possibile calcolare la duttilità in termini di curvatura, individuando nel diagramma la curvatura al limite elastico e la curvatura ultima, cui corrisponderà la rottura della sezione. 

      Le verifiche di resistenza allo Stato Limite Ultimo si eseguono confrontando il momento resistente in corrispondenza della curvatura ultima della sezione (punto finale del grafico momento-curvatura) con il momento sollecitante. La verifica di resistenza non tiene conto però della duttilità della sezione.

      Nel caso in cui sia stata disposta un’armatura eccessiva, la verifica di resistenza sarà comunque soddisfatta, ma la duttilità della sezione non sarà adeguata all’entità di energia da dissipare in caso di sisma. Ecco perché la Normativa Tecnica prescrive di rispettare dei limiti sulle quantità di armatura da disporre in funzione della classe di duttilità con cui scegliamo di progettare la struttura (classe di duttilità Alta o Bassa) e, in determinati casi, l’esecuzione della verifica sulla duttilità di curvatura.

      Il post di oggi finisce qui. Spero ti sia stato utile per approfondire questi importanti aspetti della progettazione. Se l’hai trovato utile puoi suggerirlo ai  tuoi amici su Facebook o ai tuoi colleghi su LinkedIn cliccando sui tasti di condivisione che trovi in fondo alla pagina.

      Al prossimo post.

      Marco


      Ultimo aggiornamento 28/2/2023, pubblicato il 29/1/2018. Codice articolo: 220

      Diagramma momento-curvatura delle sezioni in calcestruzzo armato: da quali parametri dipende e come calcolarlo (con un foglio Excel)

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      4 thoughts on “Diagramma momento-curvatura delle sezioni in calcestruzzo armato: da quali parametri dipende e come calcolarlo (con un foglio Excel)

      • 24 Maggio 2023 alle 10:04 am
        Permalink

        non riesco a scaricare nessun foglio excel, la mail che mi arriva contiene solo i link per i software “gratuiti o a a pagamento – versione premium”.

        Rispondi
        • Marco De Pisapia
          24 Maggio 2023 alle 4:42 pm
          Permalink

          Il form per il download mi risulta normalmente funzionante. Controlla anche nella posta indesiderata (spam).
          Ciao
          Marco

          Rispondi
      • 29 Gennaio 2018 alle 11:53 am
        Permalink

        Nella chiara esposizione del concetto della duttilità , mi rimane poco chiaro la lettura dei diagrammi deformazione e tensione nel cls, posti accanto alla sezione di .Potresti aggiungere una maggiore spiegazione di come leggerli?. Grazie

        Rispondi
        • 29 Gennaio 2018 alle 3:13 pm
          Permalink

          A destra dell’asse verticale sono riportate le deformazioni e le tensioni di compressione, a sinistra invece deformazioni e tensioni di trazione.

          Rispondi

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