fbpx

Quanti modi di vibrare devi considerare per eseguire correttamente l’analisi modale con spettro di risposta di un costruzione in zona sismica? Per rispondere a questa domanda dovrai conoscere due importanti caratteristiche dei modi di vibrare: il fattore di partecipazione modale e la massa partecipante.

In quest’articolo ti mostro cosa sono e come si calcolano la massa partecipante e i fattori di partecipazione modale dei modi di vibrare e quale ruolo giocano nel calcolo del tagliante sismico alla base della costruzione.

fattore di partecipazione modale

Alla fine del post ti mostrerò l’esempio numerico di una semplice struttura a 4 livelli grazie al quale capirai l’influenza dei fattori di partecipazione modale e della massa partecipante sull’azione sismica agente su una costruzione. Potai inoltre scaricare il Focus Normativo PDF che raccoglie tutte le prescrizioni delle NTC2018 e della Circolare 2019 sul calcolo della massa partecipante.

Partiamo con ordine. Per rispondere alla domanda di inizio post dobbiamo prima chiarire cosa sono due caratteristiche essenziali dei modi di vibrare:

  • il fattore di partecipazione modale (denominato anche coefficiente di partecipazione modale);
  • la massa partecipante.

Il fattore di partecipazione modale

Uno dei risultati forniti dall’analisi modale è il fattore di partecipazione modale, indicato solitamente con la lettera greca maiuscola Γ (gamma). Ogni modo di vibrare avrà un suo fattore di partecipazione. Questi coefficienti sono una misura del contributo di ciascun modo di vibrare alla risposta sismica della struttura. Tali fattori dipendono dalla forma modale di ciascun modo di vibrare e dalla massa sismica di ciascun impalcato.

Ti riporto nell’immagine seguente le formule per il calcolo del fattore di partecipazione modale in riferimento ad un telaio piano a due livelli.

fattore di partecipazione modale: formule per il calcolo

Differenti software, differenti risultati: una particolarità del fattore di partecipazione modale

Analizzando una struttura con due diversi software di calcolo potresti ottenere valori differenti dei coefficienti di partecipazione modale, nonostante il modello della struttura sia identico nei due casi. Com’è possibile? Questo accade perché i coefficienti di partecipazione dipendono da come sono scalati i modi di vibrare del sistema.

I modi di vibrare non sono altro che delle forme, sono definiti cioè a meno di una costante. Questo vuol dire che, moltiplicando per una costante gli spostamenti degli impalcati di un singolo modo di vibrare, il risultato sarà ancora una forma modale. Gli spostamenti di ciascun impalcato per ogni forma modale non hanno rilevanza nel loro valore assoluto, ma nel loro rapporto reciproco.

Confrontando fra loro i fattori di partecipazione dei modi di vibrare puoi farti un’idea sull’entità del contributo di ciascun modo alla risposta globale del sistema.

La massa partecipante

La massa partecipante indica quanta massa viene eccitata per ciascun modo di vibrare. La massa partecipante di ciascun modo di vibrare, moltiplicata per l’accelerazione spettrale corrispondente al periodo di vibrazione del modo, fornisce il tagliante sismico alla base relativo al singolo modo di vibrare. Nell’immagine seguente ti riporto le formule per il calcolo della massa partecipante applicate ad un telaio piano a due livelli.

fattore di partecipazione modale e massa partecipante

Anche la massa partecipante di ciascun modo indica il contributo del singolo modo di vibrare alla risposta del sistema. C’è però una differenza rispetto ai fattori di partecipazione modale. La massa partecipante non dipende da come sono scalate le forme modali, ma è una proprietà intrinseca di ciascun modo di vibrare. Ciò vuol dire che con qualunque software di calcolo verrà eseguita l’analisi modale, per la stessa struttura la massa partecipante di ogni singolo modo sarà sempre uguale (a differenza dei fattori di partecipazione modale che, come visto prima, potrebbero avere valori diversi).

Solitamente la massa partecipante viene espressa come percentuale della massa sismica totale. Ti ricordo che la massa sismica si calcola utilizzando i valori caratteristici dei carichi permanenti (peso proprio strutturale e non strutturale) e il valore caratteristico dei carichi accidentali ridotto del coefficiente ψ2j (tabella 2.5.I – NTC2018).

coefficienti di combinazione

Massa partecipante: il limite di validità dell’85%

Ora che hai chiaro cosa sono i fattori di partecipazione modale e la massa partecipante, possiamo rispondere alla domanda di inizio post: quanti modi di vibrare bisogna considerare nell’esecuzione dell’analisi modale con spettro di risposta? A questo punto entra in gioco la massa partecipante di ciascun modo di vibrare e la somma totale delle masse partecipanti dei modi di vibrare considerati nell’analisi.

La Normativa Tecnica prescrive di considerare un numero di modi tale per cui la massa partecipante sia almeno pari all’85% della massa sismica totale. Ti riporto di seguito l’estratto della Normativa:

Devono essere considerati tutti i modi con massa partecipante significativa. È opportuno a tal riguardo considerare tutti i modi con massa partecipante superiore al 5% e comunque un numero di modi la cui massa partecipante totale sia superiore all’85%.

par. 7.3.3.1 NTC2018

Ogni modo di vibrare darà un contributo all’azione sismica totale con un proprio tagliante sismico alla base. Il tagliante sismico di ogni modo sarà dato dall’accelerazione spettrale corrispondente al periodo di vibrazione del modo per la massa partecipante del modo di vibrare. Se non si considera una sufficiente percentuale di massa partecipante, si trascurerà una parte dell’azione sismica agente.

Cosa fare se non si raggiunge l’85% della massa partecipante? Possibili soluzioni

Può capitare che a fine analisi la massa partecipante non raggiunga l’85% della massa sismica totale. Vediamo come risolvere questo problema. Ti propongo di seguito un elenco di possibili cause con relativa soluzione:

  • assicurati di escludere dall’analisi la massa delle fondazioni, qualora fossero presenti nel modello di calcolo. Le strutture di fondazione non vengono eccitate dai modi di vibrare. Nel caso di fondazioni costituite da platee o da strutture scatolari interrate, la massa di questi elementi è consistente e potrebbe impedire di raggiungere il fatidico 85%;
  • prova ad aumentare il numero di modi di vibrare calcolati mediante analisi modale. Il numero di modi impostato nel software di calcolo potrebbe non essere sufficiente, aumentarlo potrebbe risolvere il problema;
  • controlla l’uniformità nella distribuzione in pianta delle rigidezze traslanti degli elementi primari; potrebbero essere presenti elementi primari (pilastri o pareti) molto più rigidi dei restanti elementi strutturali. La massa connessa con questi elementi potrebbe venire eccitata solo da modi di vibrare con periodo molto basso, magari non calcolati dall’analisi modale. Prova ad uniformare la rigidezza traslante degli elementi strutturali, diminuendo le sezioni degli elementi più rigidi, aumentando la sezione di quelli meno rigidi o ruotando l’orientamento di pilastri e pareti (te ne ho parlato in questo video).

Fattori di partecipazione modale: un esempio numerico

Per chiarire quanto detto sopra, ti propongo un esempio numerico sul calcolo della massa partecipante e del fattore di partecipazione modale. Nel caso specifico vedremo come non considerare un adeguato numero di modi di vibrare può portare ad un’errata valutazione dell’azione sismica.

L’esempio in questione riguarda una struttura intelaiata a singola campata con 4 impalcati. I primi due impalcati sono in calcestruzzo armato, i restanti due sono in acciaio. Pur trattandosi di una struttura tridimensionale, ho vincolato i nodi in modo da consentire solo gli spostamenti nel piano X-Z e le rotazioni intorno all’asse Y, in modo da riprodurre il comportamento di un telaio piano.

fattore di partecipazione modale: esempio numerico

Il modello dell’esempio avrà quattro modi di vibrare: ciascun impalcato avrà come unico grado di libertà lo spostamento orizzontale lungo X. Il numero di modi di vibrare è dato dal numero di implacati per il numero di gradi di libertà di ciascun impalcato:

numero di modi = g.d.l. di ciascun impalcato (1) x numero di impalcati (4) = 4

  • g.d.l. = grado di libertà

Calcolo del numero di modi di vibrare

Immaginiamo di considerare solo i primi due modi di vibrare su 4 ai fini dell’analisi sismica di questa struttura. In questo caso specifico, pur considerando il 50% dei modi di vibrare, prenderemmo in considerazione solo il 38% della massa sismica totale. Guarda i risultati dell’analisi modale della struttura dell’esempio per rendertene conto. Te li riporto nell’immagine seguente.

fattore di partecipazione modale e massa partecipante: esempio numerico

Ecco di seguito le masse partecipanti corrispondenti a ciascun modo di vibrare:

  • Modo 1: massa partecipante = 35.53%
  • Modo 2: massa partecipante = 2.66%
  • Modo 3: massa partecipante = 56.17%
  • Modo 4: massa partecipante = 5.63%

Considerare solo i primi due modi di vibrare porterà a tener conto di una massa partecipante pari al 38% circa. La maggior aliquota di massa partecipante si attiva con il terzo modo di vibrare, nel quale gli impalcati in calcestruzzo armato vengono eccitati, a differenza dei primi due modi in cui tali impalcati non si attivano. Per il terzo modo di vibrare abbiamo ben il 56% di massa partecipante.

Scarica il Focus Normativo PDF sulla massa partecipante

focus normativo

Ho raccolto tutte le prescrizioni della Normativa Tecnica NTC2018 e della Circolare 2019 riguardanti i limiti sulla massa partecipante in unico documento PDF scaricabile gratuitamente. Compila i campi qui sotto, riceverai all’istante un’email contenente il link per eseguire il download.

scarica la risorsa

    Il tuo nome:* (es. Marco)

    La tua email:*


    Codice risorsa: F20


    Conclusioni

    La massa partecipante e il fattore di  partecipazione modale giocano un ruolo fondamentale nel calcolo dell’azione sismica eseguita mediante l’analisi modale con spettro di risposta.

    Come hai potuto vedere nel corso dell’articolo, non ha importanza quanti modi di vibrare vengono considerati nell’analisi sismica, ma quanta massa partecipante viene chiamata in gioco dai modi di vibrare presi in considerazione. La massa partecipante complessiva dovrà almeno essere pari all’85% della massa sismica totale.

    Probabilmente il tuo software di calcolo provvederà automaticamente ad eseguire questo controllo e ti mostrerà un avviso nel caso in cui non si raggiunga l’85% della massa partecipante. Attenzione però, non tutti i software di calcolo mostrano un avviso di tal genere. In tal caso sarà cura del progettista eseguire questo controllo leggendo i tabulati dei risultati dell’analisi ed assicurando in tal modo la validità del calcolo.

    Spero che quest’articolo abbia fatto chiarezza sulla massa partecipante e i fattori di partecipazione modale nell’ambito dell’analisi delle costruzioni in zona sismica. Se l’articolo ti è piaciuto puoi consigliarlo ai tuoi colleghi su Linkedin e ai tuoi amici su Facebook cliccando sui tasti di condivisione social in fondo all’articolo.

    Grazie per aver letto l’articolo fin qui. Al prossimo  post.

    Marco


    Ultimo aggiornamento: 20/11/2020, pubblicato il 24/4/2017.

    Massa partecipante e fattore di partecipazione modale: la guida completa

    Ti è piaciuto quest'articolo?

    Per ricevere una mail alla pubblicazione di articoli simili, iscriviti alla newsletter compilando i campi richiesti.

    15 thoughts on “Massa partecipante e fattore di partecipazione modale: la guida completa

    • 23 Novembre 2020 alle 7:08 pm
      Permalink

      Ciao Marco. Sei sempre chiaro nelle spiegazioni e soprattutto scegli sempre gli esempi che chiariscono in modo semplice le cose apparentemente più difficili. Argomento bellissimo e ne approfitto per chiederti un chiarimento a cui mai nessuno “strutturista” ha saputo darmi una risposta convincente. Sono certo che tu sarai in grado di darmela.
      Nell’esempio hai subito detto che la struttura, così come l’hai modellata, ha soltanto 4 modi di vibrare ed è giusto. Se avessi considerato anche la direzione Y ne avresti ovviamente avuti 16 (altre 4 quattro traslazioni e 4 rotazioni).
      Premesso che l’azione sismica orizzontale può avere un’angolazione qualsiasi (da 0 a 360°), l’analisi dinamica modale, così come la svolgiamo tutti, raccoglie secondo te tutti i possibili “taglianti” sulla struttura?.
      Ne approfitto per farti un’altra domanda: tenuto conto del comportamento “a pettine” della trave, seconde te per la verifica dei nodi trave pilastro, in c.a., è giusto disporre le staffe nel pilastro in direzione orizzontale. Secondo me, no.
      In attesa di riscontro ti saluto cordialmente.

      Rispondi
    • 26 Luglio 2019 alle 10:48 am
      Permalink

      Ciao Marco. Perchè è importante che i primi 3 modi di vibrare di una struttura siano disaccoppiati?

      Rispondi
      • 27 Luglio 2019 alle 10:36 am
        Permalink

        Ciao Angelo, in generale è preferibile che i modi di vibrare siano disaccoppiati, ovvero che le componenti traslazionali e rotazionali non si sovrappongano in uno stesso modo di vibrare, perché in tal caso il baricentro delle rigidezze sarà molto vicino al baricentro delle masse, evitando un incremento di sollecitazioni per effetti torsionali.

        Rispondi
    • 22 Gennaio 2018 alle 9:52 am
      Permalink

      Spenderei qualche parola in più sui coefficienti di patecipazione usando sempre il tuo taglio pratico . Tu dici che il valore dei coeff. dipende da come sono scalati. Puoi meglio chiarire questo aspetto? In pratica come vengono calcolati tali coeff. Grazie

      Rispondi
    • 6 Gennaio 2018 alle 10:34 pm
      Permalink

      buongiorno, è possibile conoscere i periodi dei 4 modi dell’esempio in questione ?
      sono riportati i coeff. di part. e le masse partecipanti; l’esempio è interessante ; ringrazio in anticipo.

      Rispondi
      • 7 Gennaio 2018 alle 8:11 pm
        Permalink

        Ciao Mario,
        ti riporto sotto i periodi dei 4 modi:
        T1 = 3.2381 s
        T2 = 1.1883 s
        T3 = 0.2598 s
        T4 = 0.0881 s

        Rispondi
        • 15 Gennaio 2018 alle 12:55 pm
          Permalink

          innanzitutto grazie per la risposta; come correttamente previsto dalla teoria il modo principale ha il periodo maggiore ed i modi superiori hanno sempre periodi via via decrescenti;
          domanda: è possibile in analisi modale avere una struttura con primo periodo T1 minore di T2 o T3 maggiore di T2 ?
          chiedo questo perchè mi è stato chiesto di valutare la relazione di una analisi dinamica di un edificio scolastico redatta da un prof universitario in cui è scritto che T1 = 0,310 sec T2 = 0,520 sec e T3 = 0,410 sec; penso che ciò non sia possibile perchè il periodo fondamentale è quello con T maggiore. Cosa ne pensi?

          Rispondi
          • 15 Gennaio 2018 alle 8:05 pm
            Permalink

            In genere i modi vibrare vengono ordinati e numerati sulla base del periodo di vibrazione. Il criterio è quello di ordinarli in base al periodo di vibrazione decrescente. Ma si tratta di una convenzione. E’ probabile in questo caso che i modi di vibrare siano stati ordinati secondo un altro criterio, per esempio la massa partecipante. Bisognerebbe approfondire i criteri adottati dal software di calcolo utilizzato.

            Rispondi
    • 24 Aprile 2017 alle 4:02 pm
      Permalink

      Buongiorno, l’articolo è molto utile e chiaro! Qualche consiglio per ottimizzare un modello numerico in cui l’85% di massa partecipante non viene raggiunto?

      Rispondi
      • 24 Aprile 2017 alle 7:33 pm
        Permalink

        Ciao Mattia,
        se consideri tutti i modi di vibrare di una struttura dovresti raggiungere il 100% della massa partecipante. Se non raggiungi l’85% una spiegazione potrebbe essere che il tuo software utilizza un filtro, trascurando i modi di vibrare con massa partecipante inferiore al 5% (come prescritto dalla Normativa). Se questi modi sono numerosi potresti non arrivare all’85%. E’ un caso raro ma comunque possibile.
        Senza altri dettagli, è l’unico scenario che mi viene in mente.
        Grazie del commento.
        Ciao 😉

        Rispondi
        • 25 Aprile 2017 alle 11:26 pm
          Permalink

          Grazie mille per la risposta; in questo caso particolare sto utilizzando Straus7, software che non trascura i modi con massa inferiore al 5%. I modelli nei quali ho riscontrato questo problema sono prevalentemente caratterizzati da geometria abbastanza complessa e caratteristiche poco omogenee, mi viene in mente ad esempio un palasport con struttura verticale in c.a. e copertura in legno. Ogni volta che mi trovo di fronte ad un’insufficienza di massa eccitata non so mai come comportarmi perché dalle basi teoriche che possiedo so che il modello non è rappresentativo, ma allo stesso tempo non riesco a reperire informazioni utili su come migliorarlo per renderlo tale. Se hai qualche consiglio in merito, magari anche qualche libro di testo o pagina web che tratti l’argomento, è bene accetto.
          Grazie in anticipo e buona serata
          Mattia

          Rispondi
          • 26 Aprile 2017 alle 3:33 pm
            Permalink

            Un consiglio che mi viene in mente è di controllare la massa delle fondazioni. La massa delle strutture di fondazione non viene eccitata dai modi di vibrare. Alcuni software danno la possibilità di trascurare la massa delle fondazioni, escludendola dal calcolo. Potrebbe essere un motivo per cui non raggiungi abbastanza massa partecipante. Potresti fare un tentativo e vedere se la massa partecipante aumenta.
            Ciao
            Marco.

            Rispondi

    Lascia un commento

    Il tuo indirizzo email non sarà pubblicato.