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Quanti modi di vibrare devi considerare per eseguire correttamente l’analisi modale con spettro di risposta di un costruzione in zona sismica? Per rispondere a questa domanda dovrai conoscere due importanti caratteristiche dei modi di vibrare: il fattore di partecipazione modale e la massa partecipante.

In quest’articolo ti mostro cosa sono e come si calcolano la massa partecipante e i fattori di partecipazione modale dei modi di vibrare e quale ruolo giocano nel calcolo del tagliante sismico alla base della costruzione.

fattore di partecipazione modale

Alla fine del post ti mostrerò l’esempio numerico di una semplice struttura a 4 livelli grazie al quale capirai l’influenza dei fattori di partecipazione modale e della massa partecipante sull’azione sismica agente su una costruzione. Potai inoltre scaricare il Focus Normativo PDF che raccoglie tutte le prescrizioni delle NTC2018 e della Circolare 2019 sul calcolo della massa partecipante.

Partiamo con ordine. Per rispondere alla domanda di inizio post dobbiamo prima chiarire cosa sono due caratteristiche essenziali dei modi di vibrare:

  • il fattore di partecipazione modale (denominato anche coefficiente di partecipazione modale);
  • la massa partecipante.

Il fattore di partecipazione modale

Uno dei risultati forniti dall’analisi modale è il fattore di partecipazione modale, indicato solitamente con la lettera greca maiuscola Γ (gamma). Ogni modo di vibrare avrà un suo fattore di partecipazione. Questi coefficienti sono una misura del contributo di ciascun modo di vibrare alla risposta sismica della struttura. Tali fattori dipendono dalla forma modale di ciascun modo di vibrare e dalla massa sismica di ciascun impalcato.

Ti riporto nell’immagine seguente le formule per il calcolo del fattore di partecipazione modale in riferimento ad un telaio piano a due livelli.

fattore di partecipazione modale: formule per il calcolo

Differenti software, differenti risultati: una particolarità del fattore di partecipazione modale

Analizzando una struttura con due diversi software di calcolo potresti ottenere valori differenti dei coefficienti di partecipazione modale, nonostante il modello della struttura sia identico nei due casi. Com’è possibile? Questo accade perché i coefficienti di partecipazione dipendono da come sono scalati i modi di vibrare del sistema.

I modi di vibrare non sono altro che delle forme, sono definiti cioè a meno di una costante. Questo vuol dire che, moltiplicando per una costante gli spostamenti degli impalcati di un singolo modo di vibrare, il risultato sarà ancora una forma modale. Gli spostamenti di ciascun impalcato per ogni forma modale non hanno rilevanza nel loro valore assoluto, ma nel loro rapporto reciproco.

Confrontando fra loro i fattori di partecipazione dei modi di vibrare puoi farti un’idea sull’entità del contributo di ciascun modo alla risposta globale del sistema.

La massa partecipante

La massa partecipante indica quanta massa viene eccitata per ciascun modo di vibrare. La massa partecipante di ciascun modo di vibrare, moltiplicata per l’accelerazione spettrale corrispondente al periodo di vibrazione del modo, fornisce il tagliante sismico alla base relativo al singolo modo di vibrare. Nell’immagine seguente ti riporto le formule per il calcolo della massa partecipante applicate ad un telaio piano a due livelli.

fattore di partecipazione modale e massa partecipante

Anche la massa partecipante di ciascun modo indica il contributo del singolo modo di vibrare alla risposta del sistema. C’è però una differenza rispetto ai fattori di partecipazione modale. La massa partecipante non dipende da come sono scalate le forme modali, ma è una proprietà intrinseca di ciascun modo di vibrare. Ciò vuol dire che con qualunque software di calcolo verrà eseguita l’analisi modale, per la stessa struttura la massa partecipante di ogni singolo modo sarà sempre uguale (a differenza dei fattori di partecipazione modale che, come visto prima, potrebbero avere valori diversi).

Solitamente la massa partecipante viene espressa come percentuale della massa sismica totale. Ti ricordo che la massa sismica si calcola utilizzando i valori caratteristici dei carichi permanenti (peso proprio strutturale e non strutturale) e il valore caratteristico dei carichi accidentali ridotto del coefficiente ψ2j (tabella 2.5.I – NTC2018).

coefficienti di combinazione

Massa partecipante: il limite di validità dell’85%

Ora che hai chiaro cosa sono i fattori di partecipazione modale e la massa partecipante, possiamo rispondere alla domanda di inizio post: quanti modi di vibrare bisogna considerare nell’esecuzione dell’analisi modale con spettro di risposta? A questo punto entra in gioco la massa partecipante di ciascun modo di vibrare e la somma totale delle masse partecipanti dei modi di vibrare considerati nell’analisi.

La Normativa Tecnica prescrive di considerare un numero di modi tale per cui la massa partecipante sia almeno pari all’85% della massa sismica totale. Ti riporto di seguito l’estratto della Normativa:

Devono essere considerati tutti i modi con massa partecipante significativa. È opportuno a tal riguardo considerare tutti i modi con massa partecipante superiore al 5% e comunque un numero di modi la cui massa partecipante totale sia superiore all’85%.

par. 7.3.3.1 NTC2018

Ogni modo di vibrare darà un contributo all’azione sismica totale con un proprio tagliante sismico alla base. Il tagliante sismico di ogni modo sarà dato dall’accelerazione spettrale corrispondente al periodo di vibrazione del modo per la massa partecipante del modo di vibrare. Se non si considera una sufficiente percentuale di massa partecipante, si trascurerà una parte dell’azione sismica agente.

Cosa fare se non si raggiunge l’85% della massa partecipante? Possibili soluzioni

Può capitare che a fine analisi la massa partecipante non raggiunga l’85% della massa sismica totale. Vediamo come risolvere questo problema. Ti propongo di seguito un elenco di possibili cause con relativa soluzione:

  • assicurati di escludere dall’analisi la massa delle fondazioni, qualora fossero presenti nel modello di calcolo. Le strutture di fondazione non vengono eccitate dai modi di vibrare. Nel caso di fondazioni costituite da platee o da strutture scatolari interrate, la massa di questi elementi è consistente e potrebbe impedire di raggiungere il fatidico 85%;
  • prova ad aumentare il numero di modi di vibrare calcolati mediante analisi modale. Il numero di modi impostato nel software di calcolo potrebbe non essere sufficiente, aumentarlo potrebbe risolvere il problema;
  • controlla l’uniformità nella distribuzione in pianta delle rigidezze traslanti degli elementi primari; potrebbero essere presenti elementi primari (pilastri o pareti) molto più rigidi dei restanti elementi strutturali. La massa connessa con questi elementi potrebbe venire eccitata solo da modi di vibrare con periodo molto basso, magari non calcolati dall’analisi modale. Prova ad uniformare la rigidezza traslante degli elementi strutturali, diminuendo le sezioni degli elementi più rigidi, aumentando la sezione di quelli meno rigidi o ruotando l’orientamento di pilastri e pareti (te ne ho parlato in questo video).

Fattori di partecipazione modale: un esempio numerico

Per chiarire quanto detto sopra, ti propongo un esempio numerico sul calcolo della massa partecipante e del fattore di partecipazione modale. Nel caso specifico vedremo come non considerare un adeguato numero di modi di vibrare può portare ad un’errata valutazione dell’azione sismica.

L’esempio in questione riguarda una struttura intelaiata a singola campata con 4 impalcati. I primi due impalcati sono in calcestruzzo armato, i restanti due sono in acciaio. Pur trattandosi di una struttura tridimensionale, ho vincolato i nodi in modo da consentire solo gli spostamenti nel piano X-Z e le rotazioni intorno all’asse Y, in modo da riprodurre il comportamento di un telaio piano.

fattore di partecipazione modale: esempio numerico

Il modello dell’esempio avrà quattro modi di vibrare: ciascun impalcato avrà come unico grado di libertà lo spostamento orizzontale lungo X. Il numero di modi di vibrare è dato dal numero di implacati per il numero di gradi di libertà di ciascun impalcato:

numero di modi = g.d.l. di ciascun impalcato (1) x numero di impalcati (4) = 4

  • g.d.l. = grado di libertà

Calcolo del numero di modi di vibrare

Immaginiamo di considerare solo i primi due modi di vibrare su 4 ai fini dell’analisi sismica di questa struttura. In questo caso specifico, pur considerando il 50% dei modi di vibrare, prenderemmo in considerazione solo il 38% della massa sismica totale. Guarda i risultati dell’analisi modale della struttura dell’esempio per rendertene conto. Te li riporto nell’immagine seguente.

fattore di partecipazione modale e massa partecipante: esempio numerico

Ecco di seguito le masse partecipanti corrispondenti a ciascun modo di vibrare:

  • Modo 1: massa partecipante = 35.53%
  • Modo 2: massa partecipante = 2.66%
  • Modo 3: massa partecipante = 56.17%
  • Modo 4: massa partecipante = 5.63%

Considerare solo i primi due modi di vibrare porterà a tener conto di una massa partecipante pari al 38% circa. La maggior aliquota di massa partecipante si attiva con il terzo modo di vibrare, nel quale gli impalcati in calcestruzzo armato vengono eccitati, a differenza dei primi due modi in cui tali impalcati non si attivano. Per il terzo modo di vibrare abbiamo ben il 56% di massa partecipante.

Scarica il Focus Normativo PDF sulla massa partecipante

focus normativo

Ho raccolto tutte le prescrizioni della Normativa Tecnica NTC2018 e della Circolare 2019 riguardanti i limiti sulla massa partecipante in unico documento PDF scaricabile gratuitamente. Compila i campi qui sotto, riceverai all’istante un’email contenente il link per eseguire il download.

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    Codice risorsa: F20


    Conclusioni

    La massa partecipante e il fattore di  partecipazione modale giocano un ruolo fondamentale nel calcolo dell’azione sismica eseguita mediante l’analisi modale con spettro di risposta.

    Come hai potuto vedere nel corso dell’articolo, non ha importanza quanti modi di vibrare vengono considerati nell’analisi sismica, ma quanta massa partecipante viene chiamata in gioco dai modi di vibrare presi in considerazione. La massa partecipante complessiva dovrà almeno essere pari all’85% della massa sismica totale.

    Probabilmente il tuo software di calcolo provvederà automaticamente ad eseguire questo controllo e ti mostrerà un avviso nel caso in cui non si raggiunga l’85% della massa partecipante. Attenzione però, non tutti i software di calcolo mostrano un avviso di tal genere. In tal caso sarà cura del progettista eseguire questo controllo leggendo i tabulati dei risultati dell’analisi ed assicurando in tal modo la validità del calcolo.

    Spero che quest’articolo abbia fatto chiarezza sulla massa partecipante e i fattori di partecipazione modale nell’ambito dell’analisi delle costruzioni in zona sismica. Se l’articolo ti è piaciuto puoi consigliarlo ai tuoi colleghi su Linkedin e ai tuoi amici su Facebook cliccando sui tasti di condivisione social in fondo all’articolo.

    Grazie per aver letto l’articolo fin qui. Al prossimo  post.

    Marco


    Ultimo aggiornamento: 20/11/2020, pubblicato il 24/4/2017.

    Massa partecipante e fattore di partecipazione modale: la guida completa

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