Tensioni Ammissibili e Stato Limite Ultimo (SLU): confronto fra Metodo n e analisi plastica della sezione

In quest’articolo analizzeremo le principali differenze fra il metodo delle Tensioni Ammissibili (Metodo n) e il Metodo degli Stati Limite Ultimi (SLU) nei riguardi della verifica a flessione di una sezione in calcestruzzo armato. Scoprirai i concetti principali che sono alla base di questi due metodi di calcolo per la verifica di elementi strutturali in calcestruzzo armato.

Nel corso dell’articolo vedremo un esempio numerico di confronto fra Tensioni Ammissibili e Stato Limite Ultimo per la verifica a flessione di una sezione in calcestruzzo armato. Potrai inoltre scaricare gratuitamente Ver.Sez., l’app per il progetto e verifica di sezioni in calcestruzzo armato che ti permetterà di analizzare sezioni in campo elastico, utilizzando il Metodo n, o in campo plastico utilizzando il metodo degli Stati Limite.

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Scarica Ver.Sez. (xls di Microsoft Excel) per il progetto e verifica di sezioni in calcestruzzo armato

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I legami costitutivi del calcestruzzo e dell’acciaio

Prima di approfondire le differenze fra l’analisi elastica della sezione (Metodo n) e l’analisi plastica, occorre un breve richiamo sui legami costitutivi del calcestruzzo e dell’acciaio. Il legame costitutivo mette in relazione la tensione nel materiale con la corrispondente deformazione ed è ottenuto sperimentalmente tramite l’esecuzione di una prova di carico su provini di materiale adeguatamente preparati per tale scopo (cubetti o carote per il calcestruzzo, monconi per barre di armatura in acciaio).

Il legame costituivo del calcestruzzo e dell’acciaio è di tipo non lineare. Ciò vuol dire che, raggiunta la deformazione al limite elastico, la variazione della tensione non sarà più proporzionale alla variazione della deformazione. Per questo motivo si eseguono prove a controllo di spostamento, in cui si impone al provino una deformazione e si misura la tensione agente e non viceversa. Ti riporto nell’immagine seguente due grafici di esempio che riproducono i legami costitutivi del calcestruzzo e dell’acciaio.

In realtà, come puoi vedere dall’immagine, per il calcestruzzo il legame costitutivo è di tipo non lineare fin dall’inizio, ovvero a partire dalla deformazione nulla. Pertanto, per definire il modulo elastico istantaneo, ai fini dell’analisi della sezione in campo elastico, va considerato il modulo elastico secante considerando un tratto lineare tra la tensione nulla e una tensione pari a 0.40 f_cm.

I modelli proposti dalla Normativa Tecnica per il legame costitutivo del calcestruzzo e dell’acciaio

Il metodo delle Tensioni Ammissibili analizza la sezione ipotizzando che i materiali restino in campo elastico: ciò vuol dire che verrà utilizzato solo il ramo elastico lineare del legame costitutivo. Per questo motivo le tensioni dei materiali non dovranno superare le tensioni ammissibili che assicurano il rispetto dell’ipotesi di comportamento elastico.

Allo Stato Limite Ultimo (SLU) invece viene considerato il legame costitutivo completo, includendo anche il ramo plastico. La Normativa tecnica consente di scegliere fra diversi modelli di legame costitutivo per il calcestruzzo e per l’acciaio. Nello specifico, per il calcestruzzo è possibile scegliere fra:

• a) legame parabola-rettangolo;
• b) legame triangolo-rettangolo;
• c) stress block.

Il legame parabola-rettangolo è composto da un primo tratto ad andamento parabolico fino alla deformazione ε_c2 cui corrisponde la tensione massima f_cd. Il tratto parabolico è poi seguito da un tratto a tensione costante fino alla deformazione ultima del calcestruzzo ε_cu.

Il legame triangolo-rettangolo sostituisce invece il tratto parabolico con un tratto elastico lineare fino alla deformazione ε_c3 cui corrisponde la tensione massima f_cd, seguito da un tratto a tensione costante.

Con lo stress block il legame viene modellato tramite un rettangolo a tensione costante che parte dalla deformazione ε_c4 fino alla deformazione ε_cu. L’area di tale rettangolo è, con buona approssimazione, pari all’area sottesa dal legame parabola-rettangolo.

Per l’acciaio i modelli proposti per il legame costitutivo sono:

• a) legame bilineare finito con incrudimento;
• b) legame elastico-perfettamente plastico indefinito.

Il legame bilineare finito con incrudimento è composto da un tratto elastico lineare fino alla deformazione al limite elastico, seguito poi da un tratto incrudente fino alla deformazione ultima ε_ud.

Il legame elastico-perfettamente plastico è composto da un ramo elastico lineare, seguito da un tratto orizzontale infinito in quanto non è definita una deformazione ultima, che, idealmente, sarà ipotizzata infinita nel calcolo.

Le ipotesi assunte per l’analisi della sezione nel Metodo delle Tensioni Ammissibili e nel Metodo degli Stati Limite sono le stesse. Te le elenco di seguito:

• conservazione delle sezioni piane;
• perfetta aderenza tra acciaio e calcestruzzo;
• resistenza a trazione del calcestruzzo nulla.

Il modo in cui si analizza la sezione nei due casi è però diverso. Nel seguito del post lo vedremo nel dettaglio.

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Verifica a flessione alle Tensioni Ammissibili: analisi elastica e Metodo n

Con il Metodo delle Tensioni Ammissibili l’analisi della sezione viene eseguita in campo elastico. Tutti i materiali saranno in fase elastica e ci sarà un legame lineare fra tensioni e deformazioni. L’algoritmo di verifica per una sezione sollecitata a flessione prevede la ricerca dell’asse neutro della sezione. L’asse neutro individua i punti della sezione a deformazione nulla e separa il materiale in compressione da quello in trazione. 

Entra in gioco il coefficiente di omogeneizzazione n. Anche se composta da due materiali differenti (calcestruzzo e acciaio), nell’analisi elastica la sezione viene schematizzata come una sezione omogenea costituita da un unico materiale, in cui le aree delle barre di armatura saranno amplificate tramite il coefficiente di omogeneizzazione n.

Il coefficiente di omogeneizzazione è dato dal rapporto fra il modulo elastico dell’acciaio e il modulo elastico del calcestruzzo.

n =  Es / Ec      (coefficiente di omogeneizzazione)

• n = coefficiente di omogeneizzazione
• Es = modulo elastico dell’acciaio
• Ec = modulo elastico del calcestruzzo

Il calcolo del momento resistente avviene ricercando la posizione dell’asse neutro in corrispondenza della quale la risultante delle tensioni interne della sezione è nulla.

Per ottenere la tensione nell’acciaio delle barre di armatura, sarà sufficiente amplificare del coefficiente di omogeneizzazione n la tensione nel calcestruzzo in corrispondenza delle barre di armatura. La verifica va eseguita controllando che la tensione sollecitante sia minore della tensione ammissibile del materiale.

E’ anche possibile effettuare la verifica determinando il momento resistente della sezione, ossia il valore del momento flettente che determina il raggiungimento della tensione ammissibile nel calcestruzzo o nell’acciaio e confrontarlo con il momento sollecitante.

Verifica a flessione allo Stato Limite Ultimo (SLU)

Nel caso di verifica a flessione allo Stato Limite Ultimo, la sezione non viene considerata come una sezione omogenea composta da un unico materiale. Viene quindi abbandonato l’utilizzo del coefficiente di omogeneizzazione n. Le tensioni nei materiali vengono calcolate considerando il loro effettivo valore, in funzione della deformazione raggiunta e del legame costitutivo utilizzato.

Nel caso dello Stato Limite Ultimo la verifica viene eseguita calcolando il momento resistente della sezione in corrispondenza del raggiungimento della capacità deformativa ultima nei materiali.

Ci sono infatti due ipotesi aggiuntive rispetto al caso di analisi della sezione alle Tensioni Ammissibili:

• rottura del calcestruzzo compresso determinata dal raggiungimento della sua capacità deformativa ultima a
  compressione;
• rottura dell’armatura tesa determinata dal raggiungimento della sua capacità deformativa ultima a trazione, nel caso di legame con incrudimento;

In genere, per una sezione inflessa, la crisi si ha per raggiungimento della deformazione ultima nel calcestruzzo. Inoltre, adottando il legame elastico-perfettamente plastico per l’acciaio, l’unica deformazione ultima sarà quella del calcestruzzo, in quanto la deformazione ultima dell’acciaio si ipotizza infinita. Per tale motivo la ricerca dell’asse neutro allo Stato Limite Ultimo viene eseguita imponendo la deformazione ultima ε_cu nel lembo compresso della sezione. 

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SLU e Tensioni Ammissibili: probabilità di collasso a confronto

La differenza fra il Metodo delle Tensioni Ammissibili e quello degli Stati Limite non risiede solo nei legami tensione-deformazione utilizzati per i materiali. Un’altra importante differenza riguarda l’amplificazione dei carichi e la riduzione delle resistenze dei materiali.

Per il Metodo delle Tensioni Ammissibili vengono utilizzati i valori dei carichi e delle resistenze pari rispettivamente al frattìle del 5% e 95%. Ti spiego in pratica cosa vuol dire:

• schiacciando 100 provini di calcestruzzo fino a rottura, si avranno valori diversi della resistenza; quale valore usare? Ordinando i risultati ottenuti in ordine crescente, si sceglie di usare il valore di resistenza al di sotto del quale ricadono solo 5 provini dei 100 analizzati (il frattìle del 5%);
• misurando i carichi agenti su 100 solai, si avranno anche in questo caso valori molto di versi fra loro. Ordinando le incidenze di carico a metro quadro in ordine crescente, si sceglie di usare il frattìle 95%, ovvero quel valore del carico al di sotto del quale ricadono 95 solai fra quelli considerati (frattìle 95%).

Tali valori vengono detti valori caratteristici per le resistenze e per le azioni. Per le resistenze si avrà il 5% di probabilità di avere un valore più basso, per i carichi si avrà il 5% di probabilità di avere un valore più alto rispetto a quello caratteristico. La probabilità che contemporaneamente siano superati i carichi caratteristici e si abbiano resistenze minori di quelle caratteristiche è data dal prodotto delle loro probabilità. Ovvero si avrà lo 0.25% di probabilità che si riscontrino nella realtà resistenze minori di quelle caratteristiche e carichi maggiori di quelli caratteristici.

Con lo Stato Limite Ultimo si raggiunge un livello di sicurezza ancora superiore. In che modo? Riducendo ulteriormente le resistenze e amplificando le azioni con opportuni coefficienti di amplificazione che consentono di arrivare al frattìle 0.5% (invece del 5%) per le resistenze e 99.5% (invece del 95%) per le azioni. Si arriva in tal caso a probabilità di superamento dell’ordine dello 0.0025%, 100 volte inferiore rispetto al caso delle tensioni ammissibili.

Ma come fare per verificare queste azioni? Se si usasse il metodo delle Tensioni Ammissibili, mantenendo i materiali in campo elastico, ci vorrebbero elevate quantità di armatura oppure dimensioni della sezione eccessive. La progettazione diventerebbe antieconomica, il costo della struttura aumenterebbe vertiginosamente. Per questo motivo si ricorre allo sfruttamento delle capacità plastiche dei materiali. In tal modo si riesce a verificare la struttura, garantendo livelli di sicurezza maggiori. Te lo mostro nell’esempio numerico seguente.

Esempio numerico sulla verifica a flessione: resistenza allo SLU e alle Tensioni Ammissibili a confronto

Ti riporto di seguito un esempio numerico realizzato con Ver.Sez. l’applicazione del blog per la verifica di sezioni in calcestruzzo armato (puoi scaricarla a questo link). La sezione analizzata nell’esempio numerico ha le seguenti caratteristiche:

• Dimensioni 30×60;
• Armatura 5 Φ16 superiori, 5 Φ16 inferiori;
• Calcestruzzo C20/25, tensione ammissibile = 8.50 N/mmq;
• Acciaio B450C, tensione ammissibile = 260 N/mmq.

I momenti resistenti della sezione saranno pari a:

• 213.78 kNm allo SLU
• 136.73 kNm alle Tensioni Ammissibili

Come puoi vedere, sfruttando le capacità plastiche della sezione si avrà un incremento del momento resistente di ben il 56% rispetto a quello calcolato alle tensioni ammissibili. Ti riporto sotto le schermate di Ver.Sez., l’applicazione utilizzata per eseguire questo esempio numerico.

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Per ottenere lo stesso valore del momento resistente che si ha in campo plastico analizzando la sezione in campo elastico ed utilizzando quindi il Metodo delle Tensioni Ammissibili, occorrerà incrementare l’armatura inferiore fino ad arrivare a 13 barre Φ16. E’ un incremento notevole (+160%) rispetto alle sole 5 barre necessarie nel caso dello SLU. Ti riporto sotto la schermata di Ver.Sez. con il calcolo del momento resistente alle Tensioni Ammissibili.

Si tratta di un caso, quest’ultimo, puramente dimostrativo, in quanto una sezione 30×60 con 13 barre inferiori non sarebbe realizzabile a causa dei limiti geometrici sull’interferro minimo. Inoltre con un’armatura inferiore così elevata non sarebbero garantiti i requisiti di duttilità, in quanto l’asse neutro si avvicina al baricentro geometrico della sezione.

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Scarica Ver.Sez. l’app per il progetto e verifica di sezioni in calcestruzzo armato

Con l’app Ver.Sez. potrai eseguire il progetto e la verifica di una sezione sia allo Stato Limite Ultimo (calcolo plastico) che alle Tensioni Ammissibili (calcolo elastico). Il progetto e verifica alle Tensioni Ammissibile può tornare utile per il progetto simulato degli edifici esistenti in calcestruzzo armato. Puoi scaricare gratuitamente l’app Ver.Sez. compilando i campi che trovi qui sotto. Riceverai all’istante un’email contenente il link per eseguire il download.

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Conclusioni: il calcolo elastico delle sezioni in c.a. va in pensione?

I progettisti di strutture si dividono in due categorie:

• chi a suo tempo ha imparato a progettare e verificare con il metodo delle Tensioni Ammissibili e ha dovuto aggiornarsi in seguito all’entrata in vigore del Metodo degli Stati Limite;
• chi si è formato in epoca più recente ed ha imparato a progettare e verificare con il Metodo degli Stati Limite Ultimi.

Anche se l’utilizzo del metodo delle Tensioni Ammissibili per progettare e verificare sezioni in calcestruzzo armato non è più consentito dall’attuale normativa tecnica, l’analisi elastica della sezione, su cui il metodo delle Tensioni Ammissibili si basa tramite il cosiddetto Metodo n, resta ancora validissimo. Il Metodo n sarà infatti necessario per verificare gli Stati Limite di Esercizio (SLE) di una sezione in calcestruzzo armato, in cui i materiali vengono analizzati in fase elastica. Gli Stati Limite di Esercizio hanno lo scopo di garantire la funzionalità della struttura, limitando le deformazioni e la formazione delle fessure. Pertanto, la conoscenza del Metodo n continua ad essere una competenza indispensabile per un progettista di strutture, anche se la verifica alle Tensioni Ammissibile non risulta essere più in vigore.

L’articolo di oggi finisce qui. Spero ti sia stato utile per chiarire le differenze fra il Metodo delle Tensioni Ammissibili e il Metodo degli Stati Limite Ultimi. Se l’articolo ti è piaciuto puoi consigliarlo ai tuoi colleghi su Linkedin e ai tuoi amici su Facebook cliccando sui tasti di condivisione social che trovi in fondo alla pagina. 

Al prossimo post.

Marco

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Codice articolo: 244. Pubblicato in data 15/01/2018. Ultimo aggiornamento in data: 10/5/2024.

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