Una massa e una molla: l’analisi sismica parte da qui

Altalena

Ti ho già parlato in quest’articolo di come sono stati ottenuti gli spettri elastici di progetto grazie all’analisi di un sistema molto semplice: un oscillatore semplice. Nel post di oggi voglio parlarti delle proprietà principali di un oscillatore semplice e della risposta che si ottiene facendo variare le condizioni iniziali e i parametri che definiscono le sue proprietà principali:

  • massa
  • rigidezza
  • smorzamento viscoso
  • pulsazione di una forzante

Per rendere la comprensione di questo semplice sistema più agevole, mi farò aiutare dalle animazioni contenute nella nuova risorsa utility di questa settimana. Alla fine del post potrai scaricare la risorsa utility che riproduce la risposta dell’oscillatore semplice nei tre casi di cui ti andrò a parlare.

Come si schematizza un oscillatore semplice

Un oscillatore semplice può essere schematizzato in diversi modi. Ti elenco di seguito i tre principali:

 

Massa_Molla

Schema 1: Massa con molla e smorzatore

 

ShearType

Schema 2: Telaio shear type

 

Lollipop

Schema 3: struttura a lollipop

 

I modi di schematizzare un oscillatore semplice possono essere diversi, ma il suo comportamento sarà sempre uguale. Lo schema che preferisco e che troverai all’interno della risorsa utility è lo schema numero 3, ovvero quello relativo alla struttura a lollipop. All’interno della risorsa utility troverai un percorso in tre step che ti guiderà attraverso tre differenti casi:

  • Oscillatore semplice senza smorzamento;
  • Oscillatore semplice con smorzamento;
  • Oscillatore semplice forzato (con e senza smorzamento)

Continua a leggere per scoprire nel dettaglio le caratteristiche di ciascun caso e cosa puoi simulare grazie all’uso della risorsa utility.

 1. Oscillatore semplice senza smorzamento

Oscillat_01

Schermata della risorsa utility

Il caso più semplice da analizzare è quello dell’oscillatore semplice libero. Se spostiamo il sistema dalla sua posizione di equilibrio assegnando come condizione iniziale uno spostamento x0 al tempo t=0, oppure assegnando una velocità iniziale al tempo t=0, il sistema continuerà ad oscillare all’infinito intorno alla sua posizione di equilibrio, senza fermarsi mai. Si tratta di un comportamento idealizzato possibile solo nel caso in cui non ci sia nessuno smorzamento viscoso.

All’interno della risorsa utility potrai:

  • far partire l’animazione che riproduce le oscillazioni della struttura a lollipop
  • visualizzare il grafico della risposta in termini di spostamento in funzione del tempo
  • far variare la massa e la rigidezza dell’oscillatore e osservare di conseguenza come varia il suo periodo
  • assegnare le condizioni iniziali: posizione iniziale e velocità

 

 2. Oscillatore semplice smorzato

Oscillat_02

Schermata della risorsa utility

Un modello che riproduce in maniera più fedele la realtà è il caso dell’oscillatore semplice con smorzamento viscoso. La presenza dello smorzamento fa sì che l’ampiezza delle oscillazioni si riduca con il passare del tempo fino a portare l’oscillatore alla sua posizione di equilibrio.

E’ sufficiente un valore piccolo dello smorzamento (per esempio 0.05 ovvero il 5%) per osservare una significativa riduzione nell’ampiezza delle oscillazioni.

Nel caso di un oscillatore semplice smorzato possono presentarsi tre casi differenti a seconda del valore dello smorzamento:

  1. Oscillatore sottosmorzato: il valore dello smorzamento è maggiore o uguale a zero e minore di uno. Per un oscillatore sottosmorzato si avranno delle oscillazioni intorno alla sua posizione di equilibrio prima di raggiungere lo stato di quiete.
  2. Oscillatore con smorzamento critico: il valore dello smorzamento è pari a 1. In questo caso il sistema ritorna alla sua posizione di equilibrio senza oscillare e lo fa nel minor tempo possibile.
  3. Oscillatore sovrasmorzato: il valore dello smorzamento è maggiore di 1. Anche in questo caso il sistema tornerà alla sua posizione di equilibrio senza oscillare, ma impiegherà un tempo superiore rispetto al caso di oscillatore con smorzamento critico.

Una caratteristica importante dell’oscillatore sottosmorzato è che la presenza dello smorzamento non influisce in alcun modo sul periodo, ma solo sull’ampiezza delle oscillazioni. Questa proprietà spiega perchè quando eseguiamo l’Analisi Modale di una struttura lo smorzamento non viene tenuto in conto. Le strutture presentano in genere un valore dello smorzamento pari al 5%, sono quindi dei sistemi vibranti sottosmorzati. Quando eseguiamo un’Analisi Modale, lo smorzamento non viene considerato perchè ciò che ci interessa sapere da quest’analisi sono i periodi di vibrazione dei diversi modi di vibrare sui quali lo smorzamento non ha alcuna influenza.

Nella schermata relativa all’oscillatore semplice smorzato potrai:

  • cambiare il valore dello smorzamento
  • cambiare le condizioni iniziali: posizione iniziale e velocità
  • visualizzare il grafico della risposta in termini di spostamento in funzione del tempo
  • visualizzare l’animazione della risposta

Potrai inoltre constatare come per un oscillatore sottosmorzato il periodo di vibrazione sia uguale all’oscillatore non smorzato impostando un valore dello smorzamento pari a zero.

 

 3. Oscillatore semplice forzato

Oscillat_03

Schermata della risorsa utility

Il terzo caso riguarda l’oscillatore semplice con smorzamento o senza smorzamento e sollecitato da una forza variabile nel tempo con andamento periodico di tipo sinusoidale. Nel caso di oscillatore smorzato, la risposta a regime dell’oscillatore sarà anch’essa di tipo sinusoidale, ma l’ampiezza delle oscillazioni dipenderà dal rapporto fra la pulsazione della forzante e la pulsazione naturale del sistema.

funzione di amplificazione oscillatore forzato

Amplificazione della risposta dinamica rispetto alla risposta in condizioni statiche in funzione del rapporto fra la pulsazione della forzante e la pulsazione naturale del sistema.

Ti ricordo che la pulsazione di un sistema dipende dall’inverso del periodo di vibrazione:

ω = √( k / m ) = 2π / T

  • ω = pulsazione
  • T = periodo di vibrazione
  • k = rigidezza del sistema
  • m = massa del sistema

Quando la pulsazione della forzante si avvicina alla pulsazione naturale dell’oscillatore, ovvero quando il periodo della forzante si avvicina al periodo di vibrazione dell’oscillatore si avrà la massima ampiezza delle oscillazioni e il sistema andrà in risonanza (ti ho parlato di cosa succede alle strutture a causa della risonanza in quest’articolo). Per un sistema in risonanza la risposta massima può essere ridotta solo aumentando lo smorzamento. Se invece lo smorzamento è nullo, la risposta del sistema in risonanza a regime sarà infinita.

L’ampiezza dell’oscillazione può essere descritta nel grafico dell’amplificazione in funzione del rapporto β fra la pulsazione della forzante e la pulsazione del sistema. Questo grafico ci dice di quante volte la risposta dinamica del sistema sarà superiore alla risposta in condizioni statiche che si otterrebbe applicando al sistema una forza statica pari al valore massimo della forzante.

All’interno della schermata sull’oscillatore smorzato e forzato potrai:

  • cambiare il valore dello smorzamento del sistema;
  • variare la pulsazione della forzante;
  • visualizzare il grafico dell’amplificazione;
  • visualizzare in un’animazione la risposta in termini di spostamento e il vettore della forzante.

Impostando una pulsazione della forzante molto alta, l’ampiezza delle oscillazioni del sistema tenderà a zero. Impostando un valore della pulsazione molto basso, l’ampiezza massima dell’oscillazione del sistema si avvicinerà sempre più allo spostamento ottenuto in condizioni statiche, applicando il valore massimo della forzante. Quando la pulsazione coincide con la pulsazione del sistema avremo la risonanza.

Scarica la risorsa utility

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Spero che troverai utile questa risorsa per comprendere il funzionamento di un sistema semplice, ma allo stesso tempo fondamentale per l’analisi sismica delle strutture. Se quest’articolo e la risorsa allegata ti sono piaciuti, puoi consigliarli ai tuoi amici sul tuo social preferito o ai tuoi colleghi su Linkedin cliccando sui pulsantini in fondo alla pagina.

Al prossimo articolo

Marco