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Come funziona l’analisi pushover e quali sono i concetti alla base di quest’analisi. All’interno di quest’articolo scoprirai:

  • cosa sono le cerniere plastiche e come vengono utilizzate in un’analisi pushover;
  • quali carichi e distribuzioni di forze orizzontali vengono applicate al modello;
  • come funziona la procedura iterativa di risoluzione dell’analisi pushover.
  • come si definisce l’oscillatore semplice equivalente al sistema strutturale;
  • cos’è la curva di capacità ottenuta dall’analisi pushover e come si utilizza per eseguire la verifica;

Alla fine dell’articolo potrai scaricare gratuitamente un Focus Normativo PDF contenente tutte le prescrizioni delle NTC2018 e della Circolare 2019 sull’analisi pushover. Buona lettura!

analisi pushover

Analisi pushover: come viene definita dalle NTC2018

L’analisi pushover, indicata con il nome di analisi statica non lineare dalle NTC2018, rappresenta uno dei quattro metodi di analisi proposti dalla Normativa Tecnica. Te li riassumo di seguito:

  1. analisi lineare dinamica: si tratta dell’analisi modale con spettro di risposta. E’ la tipologia di analisi più utilizzata per il progetto e verifica delle nuove costruzioni in zona sismica;
  2. analisi lineare statica: consiste nell’applicazione di forze statiche orizzontali per simulare l’effetto dell’azione sismica. Era più utilizzata in passato quando non si disponeva delle capacità di calcolo dei moderni computer;
  3. analisi non lineare dinamica: analisi molto complessa che calcola la risposta di una struttura istante per istante sottoposta ad un accelerogramma di input;
  4. analisi non lineare statica: corrisponde all’analisi pushover oggetto del presente articolo. Vedremo nel seguito del post tutti i dettagli di questo tipo di analisi. È l’analisi che meglio si presta al calcolo delle costruzioni esistenti in calcestruzzo armato o muratura.

Analisi pushover: l’utilizzo delle cerniere plastiche

L’analisi pushover analizza il comportamento della struttura in campo plastico a differenza della classica analisi lineare che considera la struttura indefinitamente elastica.

Nell’analisi pushover il comportamento post-elastico della struttura viene modellato attraverso l’utilizzo di cerniere plastiche. Si tratta di particolari cerniere che simulano il comportamento non-lineare della struttura.

Le cerniere plastiche si comportano da incastri finché il momento sollecitante è inferiore al momento resistente della sezione. Superato il momento resistente, per ogni incremento del momento sollecitante dovuto all’applicazione di carichi crescenti, la cerniera plastica esibisce una rotazione. Puoi vedere un possibile legame momento-rotazione di una cerniera plastica nell’immagine seguente.

analisi pushover: cerniera plastica

La prassi di utilizzare delle cerniere plastiche è una semplificazione della realtà. Nella realtà la plasticizzazione non è concentrata in un punto di un elemento strutturale, ma è diffusa in una zona di una data estensione.

Per rendertene conto puoi pensare ad una trave a mensola con un carico concentrato all’estremità. Man mano che il carico aumenta, aumenterà anche il momento sollecitante. Una volta raggiunto il momento resistente al limite elastico, il calcestruzzo e l’acciaio entrano in campo plastico. All’interno della sezione la plasticità inizia a diffondersi man mano che aumenta il momento sollecitante per un tratto di una certa lunghezza dell’elemento. All’aumentare del momento sollecitante, aumenta la lunghezza dell’elemento plasticizzato.

Tutto questo viene schematizzato in maniera semplificata concentrando l’effetto della plasticizzazione in un solo punto, ovvero la cerniera plastica.

Analisi pushover: dove posizionare le cerniere plastiche?

Alcuni software di calcolo dotati dell’algoritmo di esecuzione dell’analisi pushover assegnano in automatico le cerniere plastiche agli elementi strutturali. Altri software invece richiedono al progettista strutturale di inserire manualmente le cerniere plastiche all’interno del modello. A prescindere dalla tipologia di software utilizzato, è bene sapere in quali punti, per ciascun elemento strutturale, viene a formarsi una cerniera plastica in presenza di azioni orizzontali di intensità crescente.

Ma come si fa a capire dove assegnare le cerniere plastiche alle travi e ai pilastri di un modello strutturale? Le zone delle travi e dei pilastri che si plasticizzano per prime sono quelle con il momento sollecitante maggiore. Per individuare le zone maggiormente sollecitate è sufficiente osservare il diagramma del momento flettente per un telaio caricato da forze orizzontali come quelle che agiranno nel corso dell’analisi pushover.

Ti riporto come esempio un telaio piano modellato in Ca.Tel.2D, l’applicazione del blog per l’analisi di strutture piane. Il modello è caricato da forze orizzontali Fx e carichi distribuiti sulle travi.

analisi pushover: telaio sllecitazioni

Come puoi vedere dall’immagine sopra, le zone con il momento sollecitante maggiore sono quelle alle estremità delle travi e dei pilastri. Di conseguenza saranno le zone che si plasticizzeranno per prime.

Analisi pushover: cosa fa e quali carichi applica al modello

L’Analisi pushover applica al modello i carichi gravitazionali e le forze orizzontali in corrispondenza di ciascun impalcato in direzione dell’azione sismica considerata. Le forze orizzontali vengono scalate in modo tale da far crescere monotonamente, sia in verso positivo che negativo, lo spostamento di un punto di controllo (definito come dc). Il punto di controllo coincide solitamente con il centro di massa dell’ultimo impalcato (escludendo eventuali torrini scale). La risultante delle forze orizzontali rappresenta il taglio alla base, definito dalla Normativa Tecnica come Fb.

L’analisi pushover può essere ripetuta considerando anche punti di controllo alternativi quali i punti di estremità dell’ultimo livello, per tenere conto dell’eventuale accoppiamento di traslazione e rotazione.

Ai sensi delle NTC2018, l’analisi pushover deve essere eseguita considerando almeno due differenti distribuzioni di forze orizzontali, ricadenti una nelle distribuzioni principali (Gruppo 1) e l’altra nelle distribuzioni secondarie (Gruppo 2).

Ti riporto di seguito la definizione data dalla Normativa Tecnica per i due gruppi di forze orizzontali.

Gruppo 1 – Distribuzioni principali:

  1. se il modo di vibrare fondamentale nella direzione considerata ha una partecipazione di massa non inferiore al 75% si applica una delle due distribuzioni seguenti:
    • distribuzione proporzionale alle forze statiche di cui al § 7.3.3.2 delle NTC2018, utilizzando come seconda distribuzione la a) del Gruppo 2;
    • distribuzione corrispondente a un andamento di accelerazioni proporzionale alla forma del modo fondamentale di vibrare nella direzione considerata;
  2. in tutti i casi può essere utilizzata la distribuzione corrispondente all’andamento delle forze di piano agenti su ciascun orizzontamento calcolate in un’analisi dinamica lineare, includendo nella direzione considerata un numero di modi con partecipazione di massa complessiva non inferiore allo 85%. L’utilizzo di questa distribuzione è obbligatorio se il periodo fondamentale della struttura è superiore a 1,3 TC.

Gruppo 2 – Distribuzioni secondarie:

  • a) distribuzione di forze, desunta da un andamento uniforme di accelerazioni lungo l’altezza della costruzione;
  • b) distribuzione adattiva, che cambia al crescere dello spostamento del punto di controllo in funzione della plasticizzazione  della struttura;
  • c) distribuzione multimodale, considerando almeno sei modi significativi.

par. 7.3.4.2 – NTC2018

L’analisi pushover esegue una procedura iterativa per individuare in ogni step di calcolo il moltiplicatore delle forze orizzontali che determina un incremento dello spostamento del punto di controllo, aggiornando di volta in volta il modello con l’aggiunta delle cerniere plastiche nei punti della struttura che si plasticizzano.

Onere computazionale dell’analisi pushover

L’analisi pushover richiede un notevole onere computazionale. Basti pensare che dovrà essere eseguita per:

  • due diverse distribuzioni delle forze orizzontali (una del Gruppo 1 e una del Gruppo 2);
  • per diverse posizioni del punto di controllo;
  • per diverse direzioni dell’azione sismica (solitamente direzione X e Y);
  • per il verso positivo e negativo dell’azione sismica;
  • per diversi valori dell’eccentricità accidentale delle masse di impalcato.

In sostanza l’analisi pushover dovrà essere eseguita 16 volte per ogni posizione scelta del punto di controllo. Considerando che si tratta di una procedura iterativa di risoluzione, i tempi per l’esecuzione di tale analisi possono diventare abbastanza lunghi, in particolare per edifici di notevoli dimensioni.

Analisi pushover: la curva di capacità e l’oscillatore equivalente

L’output principale dell’analisi pushover è la curva di capacità della struttura. Si tratta di un grafico che mette in relazione il taglio risultante alla base (Fb) con lo spostamento (dc) di un nodo di controllo del modello. In genere come nodo di controllo si sceglie il nodo appartenente all’ultimo impalcato del modello, in posizione prossima al baricentro dell’impalcato. Ti riporto di seguito l’immagine di una curva di capacità di un’analisi pushover.

analisi pushover: curva di capacità

Dalla curva di capacità della struttura si può definire l’oscillatore semplice equivalente (ricordi? te ne ho già parlato in questo articolo evidenziando la sua somiglianza ad un lollipop). In sostanza la struttura oggetto di analisi, che è un sistema a molteplici gradi di libertà (anche detto MDOF = Multi Degree of Freedom), viene assimilata ad un oscillatore semplice, che è un sistema ad un solo grado di libertà (SDOF= Single Degree of Freedom).

Questo passaggio è prescritto dalla Circolare 2019 e si ottiene dividendo i valori Fb e dc della curva di capacità per il coefficiente di partecipazione modale del modo di vibrare con una significativa partecipazione di massa nella direzione considerata (massa partecipante e fattori di partecipazione ti hanno spiazzato? dai un’occhiata a questo post).

analisi pushover: oscillatore equivalente

Una volta scalata la curva di capacità, il sistema strutturale a più gradi di libertà sarà equivalente ad un oscillatore semplice. E’ su questo sistema che verrà eseguita la verifica. Conoscendo la capacità della struttura in termini di spostamento, ovvero lo spostamento ultimo ottenuto dalla curva di capacità, bisognerà confrontarla con la domanda, ovvero lo spostamento che sarà richiesto dall’azione sismica di progetto.

Per la valutazione del punto di prestazione della struttura la Circolare 2019 propone due metodi:

  • Metodo A: basato sull’individuazione della domanda anelastica attraverso il principio di uguali spostamenti o uguale energia (te ne parlo più avanti);
  • Metodo B: basato sulla costruzione di uno spettro di capacità. Troverai ulteriori dettagli su questo metodo nel Focus Normativo allegato all’articolo.

Valutazione del punto di prestazione: Metodo A

Per conoscere la domanda utilizzeremo lo spettro di progetto in termini di spostamenti fornito dalla Normativa Tecnica. Entrando nello spettro con il periodo di vibrazione dell’oscillatore semplice equivalente, otterremo la domanda elastica in termini di spostamento, da confrontare con la capacità del sistema.

A questo punto avremo una domanda in spostamento per un sistema elastico. Ma il nostro sistema è duttile. Arriviamo quindi ad un bivio. La strada che prenderemo dipende dall’entità del periodo di vibrazione dell’oscillatore semplice equivalente. Numerosi studi e simulazione numeriche hanno dimostrato che:

  • se T* ≥ Tc, allora la domanda in spostamento del sistema elastico è assunta uguale alla domanda in spostamento del sistema anelastico;
  • se T* < Tc, allora la domanda in termini di spostamento del sistema anelastico sarà maggiore della domanda del sistema elastico corrispondente.

T* è il periodo di vibrazione dell’oscillatore equivalente. Le due diverse possibilità sono riassunte nell’immagine di seguito:

analisi pushover: capacità oscillatore equivalente

La verifica consiste nel confrontare la domanda in termini di spostamento con la capacità del sistema sempre in termini di spostamento.

Capacità ≥ Domanda ⇒ VERIFICA SODDISFATTA

Verifica condotta in un’analisi pushover mediante il Metodo A

Valutazione del punto di prestazione: Metodo B

Trovi tutti i dettagli sul Metodo B prescritto dalla Circolare 2019 nel Focus Normativo PDF che potrai scaricare alla fine dell’articolo.

Analisi pushover di un telaio piano (esempio pratico)

Ti riporto di seguito l’esempio di un’analisi pushover eseguita per un telaio piano a tre livelli ed una sola campata. Se il telaio è ben progettato secondo i criteri della gerarchia delle resistenze le cerniere plastiche si formeranno prima alle estremità di tutte le travi e infine alla base dei pilastri, rendendo labile lo schema statico e dando vita ad un meccanismo globale di collasso.

L’applicazione della gerarchia delle resistenze fa sì che l’ordine con cui si formeranno le cerniere plastiche eviterà il meccanismo di piano soffice, ovvero il meccanismo di collasso generato dalla formazione di cerniere plastiche al piede e alla testa dei pilastri di un singolo livello.

analisi pushover: esempio telaio

L’analisi pushover ha il vantaggio di prevedere il meccanismo di collasso a cui andrà incontro una struttura esistente sottoposta ad un sisma di una certa intensità. A seconda della posizione e della successione con cui si formeranno le cerniere plastiche potremo sapere infatti se ci sarà un meccanismo di collasso di piano soffice o un meccanismo di collasso globale.

analisi pushover: meccanismi di collasso

Scarica il Focus Normativo PDF sull’analisi pushover

focus normativo

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    Conclusioni

    Come hai potuto vedere, l’analisi pushover è un tipo di analisi più avanzato e complesso rispetto all’analisi dinamica modale (che già di per sé non è semplice).

    Maggiori diventano le potenzialità di calcolo dei nostri computer, più complesse diventano le analisi che è possibile eseguire e di conseguenza anche più articolate le prescrizioni delle Normative Tecniche che le regolamentano.

    Per un progettista strutturale non è sempre semplice restare al passo con l’evoluzione dei metodi di calcolo, per questo motivo ho creato Calculation WEB, il servizio di calcolo strutturale dedicato in esclusiva ai professionisti del settore costruzioni. Spero che quest’articolo abbia contribuito a fare un po’ di chiarezza.

    Hai letto fin qui? Allora l’analisi pushover fa parte del tuo settore di interesse. Se l’articolo ti è piaciuto puoi suggerirlo ai tuoi colleghi su Linkedin o ai tuoi amici su Facebook cliccando sui tasti di condivisione in fondo alla pagina. Se hai domande, puoi lasciare un commento sotto l’articolo.

    Al prossimo post.

    Marco


    Ultimo aggiornamento: 4/10/2020. Pubblicato il 10/7/2017.

    Analisi pushover: ecco come funziona (analisi statica non lineare ai sensi delle NTC2018)

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